Курсовая работа: Разработка системы регулирования температуры смазочного масла турбины

В качестве математических моделей технических систем применяются дифференциальные уравнения в обыкновенных и частных производных. Причем при решении задач управления предпочтение отдается моделям в пространстве состояний и структурированным моделям, описываемым дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных.

Задачу параметрической идентификации можно сформулировать следующим образом [29]. Пусть имеется полностью наблюдаемый и полностью управляемый объект, задаваемый уравнениями состояния

,                                          (3.6)

где B - n-мерный вектор –столбец, а C - n-мерный вектор –строка, А – квадратная матрица размером . Элементы этих векторов А В и С неизвестные числа. Целью идентификации является определение этих чисел.

Под идентификацией в дальнейшем будем понимать нахождение параметров моделей объектов, предполагая, что уравнения моделей заранее известны и задаются с помощью обобщенной структурной схемы объекта (рис. 3.2), т.е. будем рассматривать вопросы параметрической идентификации.

Рис. 3.2

На схеме приняты следующие обозначения:

u и y – наблюдаемые входной и выходной сигналы;

x – ненаблюдаемая (скрытая) переменная, оцениваемая косвенно по сигналам u и y , получаемым в результате преобразования в системе операторами А В и H;

е1 и е2 – ненаблюдаемые помехи (случайные процессы типа белого шума);

f и v – ненаблюдаемые помехи (коррелированные во времени случайные сигналы, в некоторых случаях содержащие детерминированные составляющие);

A, B, C, E, G, H – операторы, вид которых известен, но неизвестны параметры.

Основными постановками задач идентификации являются:

– идентификация, или определение характеристик объекта (по значениям u и y определить операторы А, В иC);

– генерация случайных сигналов с заданными характеристиками, или определение характеристик сигналов (по значениям f или v определить оператор E или G, H);

–  наблюдение за скрытыми переменными, или определение переменных состояния (по наблюдаемым u и y, известным операторам A, B, C, E, G, H определить x).

Решение вышеназванных задач идентификации осуществляется методами параметрической и непараметрической идентификации. При использовании методов параметрической идентификации сразу определяются коэффициенты передаточной функции или уравнения объекта. Вторая группа методов используется для определения временных или частотных характеристик объектов, а также характеристик случайных процессов генерируемых объектами. По полученным характеристикам затем определяются передаточная функция или уравнения объекта. В настоящее время более широкое распространение получили методы параметрической идентификации.

3.3 Метод наименьших квадратов

Параметрическая идентификация моделей объектов позволяет сразу находить значения коэффициентов модели объекта по измеряемым значениям управляемого y и управляющего u сигналов объекта. При этом предполагается, что структура и порядок модели объекта уже известен. Измеряемые значения y и u представляются в виде временного ряда, поэтому в результате идентификации оцениваются параметры АРСС – модели объекта, или параметры его дискретной передаточной функции. Зная коэффициенты АРСС – модели и ее структуру можно перейти к непрерывным структурированным моделям и моделям в пространстве состояний, как это делалось в п. 2.4.

В задачах параметрической идентификации используются модели объекта с шумом измерений, задаваемые передаточными функциями и структурой рис. 3.2. Считая порядки моделей заданными, задачей параметрической идентификации стохастической системы считается определение оценок коэффициентов полиномов модели A,B,C и D по результатам измерений входа u(t) и выхода y(t). Свойства получаемых оценок (состоятельность, несмещенность и эффективность) зависят от характеристик внешних возмущений и метода идентификации, при этом существенную роль играет вид закона распределения внешних возмущений.

Важным преимуществом методов параметрической идентификации является возможность использования рекуррентных алгоритмов, позволяющих проводить текущую идентификацию в реальном времени при номинальных режимах работы объекта. Эти преимущества определили широкое использование методов параметрической идентификации в задачах управления и автоматизации. К таким методам относятся: метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод стохастической аппроксимации .

Подставим в уравнение АРСС - модели значения сигналов y(k) и u(k), а также оценки параметров объекта, полученные после (k – 1) - го такта [32]:

. (5.1)

В этом уравнении ноль, стоящий в правой части уравнения (получающийся после переноса всех слагаемых в левую часть) заменен величиной ошибки e(k). Она отражает наличие погрешности измерений выхода и неточность оценок параметров модели ai и bi. Обозначим значение y(k) как значение y(k/k – 1), предсказанное в момент (k – 1) на момент k. Тогда

, (3.6)

Или ,                                 (3.8)

где - вектор оценок,

  - вектор данных,

d – величина дискретного запаздывания.

Ошибка уравнения e(k) будет иметь вид

,                            (3.9)

где y(k) – новое измерение; y(k/k-1) – предсказанное значение измерения.

Предположим, что измерения выполнены на интервале

k = 1, 2, ..., n + d + N

а порядок АРСС – модели (n, n). Тогда на основании (3.8) (5.4)получим векторно-матричное уравнение вида

,                       (3.10)

где  - вектор выхода,

 - матрица данных,

– вектор ошибок.

Функция потерь по критерию наименьших квадратов определяется как квадрат ошибки, что в векторном представлении дает

,                   (3.11)

а ее минимум находится из условия

.                                                (3.12)

Полагая, что N ³ 2n, обозначим

,                          (3.13)

тогда оценка минимизирующая функцию потерь (3.11)будет иметь вид:

.                 (3.14) .

Алгоритм (3.14) – нерекуррентный алгоритм идентификации по методу наименьших квадратов, так как вычисление оценок параметров модели  производится лишь после того как сформирован весь массив входных и выходных данных объекта

.

Рекуррентный алгоритм МНК получается после записи новой  и старой оценок и вычитания одной из другой:

.           (3.15)

Вектор коррекции определяется из соотношения:

.                      (3.16)

Вектор  на следующем шаге вычисляется как

.                     (3.17)

Рекуррентный алгоритм метода наименьших квадратов реализуется в следующей последовательности.

1. Задаются начальные значения вектора оценок параметров модели и вектора данных:

,

где  – достаточно большое число, I – единичная матрица соответствующей размерности.

2. Производятся измерения входного и выходного сигналов объекта, и формируется новый вектор данных .

3. Вычисляется вектор коррекции по формуле (3.16)

4. Находится новая оценка параметров по формуле (3.15)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9