Учебное пособие: Теоретическая механика
Материальная точка - тело, обладающее массой, размерами
которого при решении данной задачи пренебрегают.
Центр масс механической
системы -
геометрическая точка, координаты которой определяются формулами.
 (3.1 )
где mk, xk, yk, zk- масса и координаты k - той точки механической системы,
m - масса системы.
В однородном поле тяжести положение центра масс
совпадает с положением центра тяжести.
Момент инерции материального
тела относительно оси
– количественная мера инертности при вращательном движении.
Момент инерции материальной
точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния
точки от оси.
JZ = m×r2 (3.2)
Момент инерции системы
(тела ) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех
точек.
JZ = åmk×rk2 (3.3 )
Сила инерции
материальной точки -
векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль
ускорения и направленная противоположно вектору ускорения
 (3.4)
Сила инерции
материального тела -
векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль
ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра
масс
 , (3.5)
где  - ускорение центра масс
тела.
Элементарный импульс
силы - векторная
величина  , равная произведению
вектора силы  на бесконечно малый
промежуток времени dt
 , (3.6)
Полный импульс силы за Dt равен интегралу от элементарных
импульсов
 (3.7)
Элементарная работа силы - скалярная величина dA, равная скалярному произведению
вектора силы  на бесконечно малое
перемещение d .
Скалярное произведение векторов равно произведению их
модулей на косинус угла между направлениями векторов.
dA = F×ds×cosa, (3.8)
где a - угол между направлениями
векторов перемещения и силы.
Работа силы  на конечном перемещении
точки её приложения равна интегралу от элементарной работы, взятому по
перемещению.
 (3.9)
Единица измерения работы -
Джоуль (1 Дж=1 Н×м).
Количество движения
материальной точки -
векторная величина  , равная
произведению массы m на её скорость  .
 =   (3.10)
Количество движения механической
системы  равно векторной сумме
количества движения её точек.
 (3.11)
или с учетом формул ( 3.1 ).
 , (3.12)
где: m- масса механической системы,
 - вектор скорости центра масс
системы.
Кинетическая энергия материальной точки - скалярная величина Т, равная половине произведения
массы точки на квадрат её скорости.
T= (3.13)
Кинетическая энергия механической системы равна
сумме кинетических энергий всех её точек.
 (3.14)
3.3. Аксиомы динамики
Первая
аксиома - закон инерции.
Если на свободную материальную точку не действуют
никакие силы или действует уравновешенная система сил, то точка будет находиться
в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
Вторая аксиома- закон
пропорциональности ускорения.
Ускорение, сообщаемое материальной точке действующей на
неё силой, пропорционально этой силе и по направлению совпадает с направлением
силы.
 ,
(3.15 )
Выражение (3.15) называют основным законом динамики.
Третья аксиома - закон противодействия.
Силы, с которыми действуют друг на друга две материальные
точки, равны по модулю и направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки, в
противоположные стороны
 , (3.16)
Четвертая аксиома -
закон независимости действия сил.
При действии на
материальную точку системы сил полное ускорение этой точки равно геометрической
сумме ускорений от действия каждой силы
 , ( 3.17 )
3.4. Дифференциальные
уравнения динамики
Дифференциальные уравнения движения точки связывают
ускорение точки с действующими на нее силами. Фактически дифференциальные
уравнения являются записью основного закона динамики в явной дифференциальной
форме.
Для абсолютного движения точки (движение в
инерциальной системе отсчета) дифференциальное уравнение имеет вид
 , (3.18)
Векторное уравнение (3.17) может быть записано в
проекциях на оси прямоугольной инерциальной системы координат
  ,
 , (3.19)
 ,
При известной траектория движения
точки уравнение (3.18) может быть записано в проекциях на оси естественной
системы координат
  ,
(3.20)
C учетом (2.8) уравнения примут вид
  (3.21)
3.5 Общие теоремы
динамики
Общие теоремы динамики устанавливают зависимость между
мерами механического движения и механического взаимодействия. Выводы теорем
являются результатом тождественного преобразования основного закона динамики.
Теорема об изменении
количества движения:
изменение количества движения материальной точки (механической системы) за
конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток
времени
 -для материальной точки; (3.22)
 -для механической системы. (3.23)
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии точки
(механической системы) при её перемещении равно сумме работ всех действующих
внешних сил на этом перемещении
 - для материальной точки (3.24)
 - для механической системы
(3.25)
Кинетическая энергия механической системы
определяется в соответствии с (3.14), при этом для твердых тел выведены
следующие зависимости
 -при поступательном движении тела, (3.26)
 - при
вращательном движении тела, (3.27)
 - при
плоско-параллельном движении тела. (3.28)
 Моменты инерции некоторых однородных тел
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
