Учебное пособие: Елементи квантової фізики
Таке проходження
частинки виявляється можливим дякуючи існуванню під бар’єром хвильової функції,
яка «прокладає» шлях частинки на будь-яку відстань. Тунельний ефект є головною
причиною a - розпаду радіоактивних ядер.
2. Фізика атомів і молекул
2.1. Атом водню
2.1.1.
Використання
рівняння Шредінгера до атома водню.
Хвильова
функція. Квантові числа.
2.1.2.
Енергія атома
водню і його спектр. Виродження рівнів.
Правила
відбору.
2.1.3.
Механічний і
магнітний моменти атома водню.
2.1.1.Використання
рівняння Шредінгера до атома водню.
Хвильова
функція. Квантові числа.
Теорія Бора
будови і властивостей енергетичних рівнів електронів у воднево подібних
системах знайшла своє підтвердження в квантовій механіці. Квантова механіка
також стверджує, що:
a) електрони в атомах водню знаходяться
лише в дискретних енергетичних станах. При переході електронів із одних станів
в інші випромінюється або поглинається фотон;
б).не існує
певних колових орбіт електронів. В силу хвильової природи електрони «розмиті» в
просторі подібно до хмарки негативного заряду. Розміри і форму такої хмарки в
заданому стані можна розрахувати.
Розглянемо рух
електрона в кулонівському полі ядра з зарядом Ze, потенціальна енергія якого
виражається формулою
 ,
(2.1.1)
де r - відстань між електроном і ядром.
Стан електрона в
атомі водню або воднево подібному атомі описується деякою хвильовою функцією Y, яка задовольняє
стаціонарному рівнянню Шредінгера:
 , (2.1.2)
де  - оператор Лапласа; Е
- значення повної енергії електрона в атомі; m - маса частинки;   (x,y,z) - хвильова функція в
декартові системі координат.
 Для розв’язування рівняння Шредінгера
(2.1.2), тобто знаходження виду хвильової функції для електрона в атомі водню
слід перейти від декартових координат до сферичних. В цьому випадку зв’язок між
параметрами цих систем координат визначається з рис.2.1.
Рис.2.1.
Співвідношення,
які зв’язують координати x,y,z декартової прямокутної системи
координат з сферичними координатами r, q, j наступні:
 (2.1.3)
Таким чином можна
вважати, що хвильова функція y електрона в атомі водню залежить від сферичних
координат, тобто y=y(r, q, j).
Опустивши не складні, але досить громіздкі перетворення переходу від
декартової системи координат до сферичної, одержимо:
 .
(2.1.4)
Якщо розглядати
основний (не збуджений) стан атома водню, то другою і третьою складовими в
рівнянні (2.1.4) можна знехтувати. Електрон в такому стані рухається лише по
коловій траєкторії, і хвильова функція не залежить від q і j. Тому
 .
(2.1.5)
Хвильова функція y електрона в основному стані
(2.1.5) є функцією лише r, тобто y=y( r). Такий стан називається s-станом; він має сферично-симетричний
характер. Імовірність виявити електрон у заданій точці атома - залежатиме лише
від r. Умовам стаціонарного стану
відповідає легко диференціруєма центральносиметрична функція, яка має вигляд:
 ,
(2.1.6)
де a - деяка стала величина, яка має
розмірність довжини.
Необхідні похідні
від (2.1.6) підставимо в (2.1.5). Після скорочення на  одержимо:
 .
(2.1.7)
Рівність (2.1.7) має місце для
будь-яких значень r при виконанні наступних умов:
  (2.1.8)
З рівностей (2.1.8) одержуємо
 (2.1.9)
 (2.1.10)
Покажемо, що
вираз (2.1.9) є найбільш імовірною відстанню електрона в атомі водню до ядра.
Імовірність знайти електрон на відставні r від ядра, точніше в інтервалі
відстаней від r до r+dr, тобто в кульковому шарі з
об¢ємом
dV=4pr2 dr, дорівнює:
 .
(2.1.11)
З урахуванням
(2.1.6), хвильової функції основного стану маємо:
 ,
(2.1.12)
де  -
густина імовірності.
Дослідимо вираз
(2.1.12) на максимум, тобто похідну від w(r) прирівняємо до нуля
 .
Звідки
r=a.
(2.1.13)
Цей результат є
окремим випадком загального висновку: борівські орбіти електрона в атомі водню
є геометричними місцями точок, в яких з найбільшою імовірністю можна виявити
електрон.
Залежність
густини імовірності w(r) виявити електрон на різних відстанях від ядра показана на рис.2.2.
Рис.2.2.
За теорією Бора імовірність виявити
електрон у стані з n=1 відмінна від нуля лише для r=a, а згідно з висновками квантової
механіки ця відстань є лише найбільш імовірною.
Теорія Бора дає
можливість визначити значення енергії електрона в будь-якому енергетичному
стані, а також радіус відповідних борівських орбіт:
 , (2.1.14)
 ,
(2.1.15)
де m - маса електрона; e - заряд електрона; e0 - діелектрична проникність
вакууму;  - стала Планка,
поділена на 2p; n=1,2,3... - головні квантові числа.
Співставлення
(2.1.9) і (2.1.14), а також (2.1.9) і (2.1.15) показують, що висновки квантової
механіки і теорії Бора повністю співпадають. Це співподання підкреслює значну
історичну роль теорії Бора, яка ще не є квантовою, однак і не класичною
теорією.
Хвильові функції
для наступних двох енергетичних рівнів електронів в атомі водню мають вигляд
 ,
(2.1.16)
 .
(2.1.17)
Ці хвильові
функції також є розв¢язками рівняння (2.1.4) при умові, що  і  . Можна показати, що
формула (2.1.14) є значенням енергії електрона на будь-якому енергетичному
рівні.
Однак для повного пояснення стану
електрона в атомі водню необхідні ще два квантові числа, які входять у
відповідні рівняння хвильових функцій і які характеризують момент імпульсу
електрона в атомі.
Для збуджених
атомів хвильові функції не є центрально симетричними і залежать не лише від r, а і від q і j. Ці хвильові функції містять
три цілочислові параметри, які називають квантовими числами. Серед них:
n - головне квантове число, співпадає з
аналогічним квантовим числом теорії Бора і набуває значень від 1 до ¥;
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 |
