Учебное пособие: Елементи квантової фізики
Так як частинка
не виходить за межі ділянки 0<х<l, то імовірність знайти її за межами
цієї ділянки дорівнює нулю. Це означає, що рівняння Шредінгера для стаціонарних
станів можна доповнити граничними умовами  і
Запишемо рівняння
Шредінгера для частинки в потенціальному ящику
(1.38)
де m - маса частинки;  - стала Дірака; Е
- повна енергія частинки; Y(х) - хвильова функція.
Введемо
позначення
(1.39)
де к -
хвильове число хвиль де Бройля для електрона, який перебуває усередині
потенціального ящика.
Рівняння (1.38)
набуде вигляду
(1.40)
Знайдемо
розв’язок рівняння (1.40), подібно до аналогічних диференціальних рівнянь
гармонічних коливань, в тригонометричній формі
(1.41)
де А,В і С
- сталі величині.
З граничних умов одержуємо:
а) Y(0)=0; 0=АcosB.0+CsinB.0
Звідки А=0; В¹0 і С¹0.
б) Y(l)=0; 0=CsinB.l.
звідки при С¹0, Вl=np, або  де n = 1,2,3........
Хвильова функція
з урахуванням граничних умов набуде вигляду:
(1.42)
Константу С
у формулі (1.42) знайдемо із умови нормування
(1.43)
або
 . (1.44)
Другий інтеграл у
виразі (1.44) при будь-яких значеннях n дорівнює нулю, тому
 звідки 
Хвильова функція,
яка описує квантовий рух частинки в потенціальному ящику має вигляд:
 (1.45)
При підстановці
(1.45) в (1.38) одержуємо тотожність:
 .
Звідки
(1.46)
тобто енергія Е
електрона в потенціальному ящику не може бути довільною. Вона набуває лише
дискретних власних значень Е(n). Імовірність виявити в межах потенціального ящика електрон з іншою
енергією, ніж (1.46) дорівнює нулю.
Енергетичний
спектр і густина імовірності частинки в потенціальному ящику показана на рис.
1.6.
Рис.1.6
Число n в формулі (1.46) визначає вид
хвильової функції і енергію частинки в стані з цією хвильовою функцією,
називається квантовим числом. Покажемо, що для частинки в
потенціальному ящику можливі лише такі енергетичні рівні, на яких викладається
ціле число півхвиль де Бройля. При аналізі граничних умов було показано, що kl=np, де  - хвильове число хвиль де
Бройля. З урахуванням останнього маємо:
(1.47)
Співвідношення
(1.47) показує, що в потенціальному ящику можливі лише такі стани частинки, при
яких на ширині потенціального ящика l вкладається ціле число півхвиль де
Бройля (Рис.1.7).
Рис 1.7
Незбуреному стану частинки відповідає енергія
(1.48)
Значення цієї
енергії Е1>0 свідчить про те, що частинка в
потенціальному ящику ніколи не зупиняється і що невизначеність DРх імпульсу частинки не може
бути меншою за величину
(1.49)
Однак в
потенціальному ящику шириною l положення частинки визначається похибкою, яка співрозмірна з шириною
ящика Dх»l
Тому
Dх.DРх³p ,
(1.50)
що перебуває у
повній відповідності із співвідношенням невизначеностей імпульс - координата.
Покажемо, як
залежить ширини енергетичного інтервалу DЕ від розмірів потенціального ящика.
У потенціальному ящику з розмірами l=10-9м. Власні значення енергії
електрона утворюють послідовність енергетичних рівнів, енергетична відстань між
якими дорівнює
DE=En+1-En.
Або
 Дж.
В
електрон-вольтах ця енергія дорівнює
Коли ширина
потенціального ящика співрозмірна з розмірами атома, енергетичний інтервал між
сусідніми енергетичними рівнями досить значний, а спектр є дискретним.
У випадку, коли
потенціальний ящик має мікроскопічні розміри l»10-2м., енергетичний інтервал між
сусідніми рівнями дорівнює
 Дж=0,34.10-14(2n+1) eB.
Для такого
потенціального ящика квантуванням енергії можна знехтувати. Вона нічим не
відрізняються від значень енергії, одержаних класичними методами.
Аналогічні
результати можна одержати для великих квантових чисел n. У цьому випадку проявляється
принцип відносності, встановлений Бором у 1923р.
При великих
квантових числах висновки і результати квантової механіки збігаються з
відповідними класичними результатами.
1.3.3. Гармонічний квантовий осцилятор.
Просторово-обмеженим
є також рух квантового осцилятора. З класичної точки зору осцилятором може бути
будь-яка матеріальна точка, яка здійснює гармонічні коливання під дією
квазіпружної сили.
F=-kx, де k=m
(1.51)
Потенціальна
енергія класичного осцилятора знаходиться за формулою
де m - маса частинки;  - циклічна частота
осцилятора.
 Графічна залежність енергії
класичного осцилятора показана на рис.1.8.
Рис. 1.8
.
З рисунка видно,
що осцилятор може мати практично довільну енергію, навіть рівну нулю. В точках -а
і +а кінетична енергія осцилятора дорівнює нулю, а потенціальна енергія
досягає свого максимуму. За межі області (-а, +а) класичний
осцилятор вийти не може.
Квантовим
осцилятором може бути лише елементарна частинка, яка поряд з корпускулярними
властивостями проявляє і хвильові властивості. Прикладом квантового осцилятора
може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної гратки.
Потенціальна енергія квантового осцилятора має таку ж математичну залежність,
що і класичний осцилятор (1.52).
Стаціонарне
рівняння Шредінгера для лінійного гармонічного осцилятора має вигляд:
(1.53)
де m - маса квантової частинки;  - циклічна частота; Е
- повна енергія частинки.
Знаходження
хвильових функцій квантового осцилятора є досить складною математичною задачею.
Тому, опускаючи такі розв’язки, наводимо енергетичний спектр квантового
осцилятора. Він має вигляд
(1.54)
де n= 0,1,2,3,..... - любе ціле число,
починаючи з нуля;  - циклічна
частота;  - стала Дірака.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 |
