Контрольная работа: Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях
а) Если в полученной
схеме нет ветви без сопротивления, томожно разомкнуть любую ветвь полученной
пассивной схемы и относительно точек разрыва записать выражение для нахождения .
б) Если в полученной
схеме есть ветви без сопротивления, то размыкать надо именно ту ветвь, в
которой ищется переходный ток или напряжение и относительно точек разрыва
записывают .
Характеристическое
уравнение имеет вид:
.
Для рассмотренного выше
примера получим:
Выражение для свободной
составляющей содержит столько слагаемых, сколько есть корней, а слагаемые имеют
такой вид:
а) каждому простому
вещественному корню соответствует слагаемое .
Если два корня, то
процесс апериодический.
б) двум
комплексно-сопряженным корням: и соответствует A1ePx1 t +A2ePx2 t, где A1, A2 – получаются комплексными числами, причем комплексно-сопряженными
числами. Поэтому с помощью формулы Эйлера этот результат можно записать в
другом виде (где не будет j): .
По этому выражению не
очень удобно строить графики. Используя формулы тригонометрии его можно
преобразовать (либо в sin,
либо в cos): Ce-t sin(ct+1)=De-t cos(c t+2) – затухающий во
времени гармонический процесс – колебательный процесс.
в) среди корней есть m одинаковы[ (если таких корней два,
то переходный процесс называется критическим).
;
Пример: Дано: E=40В, R1
=R2=400 Ом, L=5Гн, C=5
мкФ. Найти .
1) В схеме до коммутации стоит
постоянный источник, следовательно, ток в установившемся режиме постоянный.
t<0
, .
Если источник ЭДС
синусоидальный, то эту часть задачи решают символическим методом.
2) Рассчитывают новый
установившийся режим, находят принужденную составляющую.
t
Видно, что после
коммутации в схеме есть только постоянный источник ЭДС и поэтому в принужденном
режиме – постоянный ток.
.
3) получают
характеристическое уравнение
.
4) записывают решение
5) определяют начальные
условия
Для схемы после
коммутации записывают систему уравнений по законам Кирхгофа. Число этих
уравнений больше, чем число неизвестных, однако при t=0, известны все iL(0) и uC(0), поэтому при добавлении этих независимых условий из полученной при t=0 системы можно найти все остальные
зависимые начальные условия, например, методом подстановки.
При решении надо выразить
значения токов и напряжений в момент t=0, их производные по времени в момент t=0 через параметры элементов схемы и независимые начальные
условия.
Например, для нашей
задачи:
В нашей задаче для
расчета надо
найти 2 начальных условия, т.к. имеем 2 корня характеристического уравнения и 2
произвольные постоянные, поэтому надо знать R(0) и R(0).
Из (1):
,
Из (3):
,
.
6) расчет произвольных
постоянных
В нашем случае:
При :
Тогда из (1)
Из (3)(2)
Ответ: , А.
3. Особенности переходных
процессов в цепях с одним реактивным элементом
В таких цепях
характеристическое уравнение будет первого порядка. Получить это уравнение
можно, например, так:
По способу Zвх(p)=0, при этом схемы могут иметь вид:
Рис (1) , ,
Рис (2) , .
Видно, что корень
характеристического уравнения получается отрицательным, т.е. с течением времени
свободная составляющая .
Ясно, что в разных схемах
различными получаются величина А, величина , но свободная составляющая всегда
будет иметь вид затухающей экспоненты. Для таких функций вводятся специальная характеристика.
Постоянная времени цепи
(τ) – есть интервал времени, за который амплитуда свободной составляющей
уменьшается в e раз.
Воспользовавшись этим
определением, можно найти τ таким образом так как , то
.
В цепи: ,
т.е. τ зависит
только от параметров рассматриваемой цепи (τ не зависит от начальных
условий и напряжений источника).
Используя понятие τ,
можно условно ввести понятие длительности переходного процесса. Так как , то
t |
τ |
3τ |
5τ |
|
0,36 |
0,05 |
0,004 |
В соответствие с этой
таблицей принимают, что переходный процесс длится . К концу этого времени график
переходного процесса практически сливается с принужденной составляющей.
Если известен график
переходного процесса, из него можно найти τ.
Проще всего сделать так:
на глаз определить, где кончается переходный процесс.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5 |