Дипломная работа: Разработка программного обеспечения для голосового управления трехмерными моделями функционирования промышленных роботов

Все методы цифрового спектрального анализа можно разделить, на две группы [6-7]: классические методы, базирующиеся на использовании преобразований Фурье, и методы параметрического моделирования, в которых выбирается некоторая линейная модель формирующего фильтра и оцениваются его параметры. К первой группе относят корреляционный и периодограммные методы. Ко второй группе относят методы оценивания СПМ на основе авторегрессии скользящего среднего и др.

Периодограммный метод обеспечивает вычисление оценки СПМ непосредственно по числовой последовательности х[nТ0], формируемой путем дискретизации стационарного эргодического случайного процесса x(t). Периодограммная оценка СПМ равна [6-7]

 (1.18)

Выражение (1.18) соответствует возможности вычисления СПМ с помощью преобразования Фурье непосредственно по реализации исходного сигнала.

Вычисленная с помощью (1.18) оценка СПМ является несостоятельной, т.е. с увеличением N она не улучшается. Для получения состоятельной оценки ее необходимо сглаживать. Кроме этого, при выполнении преобразования Фурье последовательности х[nТ0] конечной длины /V происходит «размывание» спектра, которое также оказывает влияние на состоятельность оценки СПМ.

Ограничение последовательности х[nТ0] конечным числом значений равносильно умножению исходной бесконечной последовательности х0 [nТ0] на другую последовательность

 (1.19)

которую называют прямоугольным окном. Тогда можно записать

 (1.20)

Преобразование Фурье последовательности х[nТ0] равно свертке преобразований Фурье последовательности х0 [nТ0] и прямоугольного окна w[nТ0]

 (1.21)

Рисунок 1.2 – Размывание спектра: (а – исходная бесконечная последовательность; б – модуль преобразования Фурье от х0 [nТ0]; в - последовательность х0 [nТ0], умноженная на прямоугольное окно; г - модуль преобразования Фурье последовательности х[nТ0])

При выборе оконных функций используются следующие параметры: ширина основного лепестка, максимальный уровень боковых лепестков, скорость спадания уровня боковых лепестков [6,7,10].

Здесь ширина основного лепестка определена на уровне 3 дБ ниже его максимума и измерена в единицах разрешения преобразования Фурье, т.е. 2π/N, где N - длина окна.

Для повышения состоятельности оценки (1.18) выполняют её сглаживание. Имеется несколько методов сглаживания: Даньелла, Бартлетта, Уэлча [6,7].

Метод Даньелла основан на осреднении значений СПМ в пределах смежных спектральных частот.

В соответствии с методом Бартлетта состоятельность оценки СПМ повышают усреднением оценок СПМ коротких реализаций, полученных из

одной реализации длиной N отсчетов. Пусть дана реализация длиной N отсчетов. Она разбивается на ns неперекрывающихся сегментов, длиной Ns=N/s отсчетов. Для каждого сегмента по формуле (1.18) вычисляется выборочная оценка СПМ. Сглаженная оценка СПМ получается путем усреднения по всем n, сегментам

 (1.30)

Если последовательность х[n] представляет нормальный стационарный эргодический процесс, то сглаженная оценка имеет дисперсию обратно пропорциональную числу сегментов n.

Спектральное разрешение оценки задается приближенным равенством

 (1.31)

В методе Уэлча подход Бартлетта применяется к перекрывающимся сигментам исходной последовательности х[n], и каждый сегмент взвешивается с помощью оконной функции для уменьшения смещения оценок из-за эффекта «просачивания» энергии в боковые лепестки. Цель перекрытия сегментов - увеличить число усредняемых участков при фиксированной длине последовательности и тем самым повысить точность оценок СПМ. Метод Уэлча - один из самых распространенных периодограммных методов [6,7].

Обозначим через  величину сдвига между сегментами, которая должна удовлетворять условию , где - максимальное имя корреляции анализируемого процесса. При выполнении этого условия получим p=int[(N-Ns)/+l]слабо коррелированных сегментов. Отсчеты каждого сегмента взвешиваются окном w[n]

 (1.32)

Выборочное значение СПМ сегмента р оценивается по формуле

 (1.33)

где

 (1.34)

 (1.35)

Сглаженная оценка периодограммы Уэлча вычисляется по формуле

 (1.36)

Введение перекрытия сегментов в методе Уэлча позволяет уменьшить изменчивость оценки СПМ, Так же как и в методе Бартлетта, дисперсия оценки СПМ по методу Уэлча обратно пропорциональна числу сегментов, но благодаря большему числу сегментов, значение дисперсии будет меньше.

1.2  Основы цифровой фильтрации

Цифровой фильтр представляет собой систему с постоянными параметрами (инвариантную к сдвигу), работающую в дискретном времени. Напомним, что для таких систем сигнал на входе и выходе связан дискретной сверткой (1.5). Соответствующее соотношение между z-преобразованиями имеет вид

  (1.37)

Прямое z-преобразование отклика на единичный импульс H(z) называется передаточной функцией системы. Преобразование Фурье отклика на единичный импульс называется частотной характеристикой. Обычно  представляет собой комплексную функцию со, которую можно записать в виде

  (1.38)

или через модуль и фазу

  (1.39)

Инвариантная к сдвигу линейная система называется физически реализуемой, если h(n)=0 при n<0. Линейная система устойчива, если для любой ограниченной по уровню входной последовательности выходная последовательность также ограничена. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы с постоянными параметрами является

  (1.40)

Это условие аналогично (1.10) и оказывается достаточным для существования .

Сигналы на входе и выходе линейных инвариантных к сдвигу систем, таких, например, как фильтры, связаны дискретной сверткой (1.5) и кроме того, разностным уравнением

 (1.41)

Вычисляя z-преобразование от обеих частей, можно получить

 (1.42)

Сравнивая (1.41) и (1.42), полезно отметить следующее. Если задано разностное уравнение вида (1.41), то H(z) можно получить непосредственной подстановкой коэффициентов при входном сигнале в числитель передаточной функции к соответствующим степеням z-1, а коэффициенты при выходном сигнале - в знаменатель к соответствующим степеням z-1.

Передаточная функция в общем случае является дробно рациональной. Таким образом, она определяется положением нулей и полюсов на z-плоскости. Это означает, что H(z) можно представить в виде

 (1.43)

При рассмотрении z-преобразования отмечалось, что физически реализуемые системы имеют область сходимости вида |z|>R1. Если система, кроме того, еще и устойчива, то R1 должно быть меньше единицы, таким образом единичная окружность входит в область сходимости. Иначе говоря, для устойчивой системы все полюсы H(z) должны лежать внутри единичной окружности.

Достаточно определить два типа линейных систем с постоянными параметрами. Это системы с конечной импульсной характеристикой (КИХ) и системы с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). Эти два класса обладают отличными друг от друга свойствами, которые будут рассмотрены ниже.

Если все коэффициенты аk. в уравнении (1.22) равны нулю, то разностное уравнение принимает вид

 (1.44)

Сравнивая (1.44) с (1.56), можно отметить, что

 (1.45)

Системы с КИХ обладают рядом важных свойств. Передаточная функция H(z) таких систем представляет собой полином по степеням z-1 и, таким образом, не имеет ненулевых полюсов, а содержит только нули. Системы с КИХ могут обладать строго линейной фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). Если h(n) удовлетворяет условию

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21