Учебное пособие: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников

7)  асимптоты графика функции.

Вопросы для самопроверки.

1.Каков геометрический смысл производной7

2.Каков геометрический смысл дифференциала?

3.Как использовать дифференциал для приближенного вычисления функции?

4.Как найти производную и дифференциал произведения трех функций7

5.Пользуясь определением производной, найдите производную функции у=3х.

6.Как вычисляется производная сложной функции? приведите пример.

7.Что такое вторая производная?

8.Как использовать формулу Тейлора для вычисления приближенных значений функции?

9.Каковы условия возрастания и убывания функции?

10.Сформултруйте необходимое и достаточное условие максимума дифференцируемой функции. В чем различие между необходимым и достаточным условием?

11.Что такое точка перегиба?

12.Какие бывают асимптоты? Приведите примеры.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Задача 1.

Даны векторы a и b. Найти вектор c = a + b и скалярное произведение (a ·b),

где a = {1, M + 4, -1, N - 5},b = {-M + 5, -1, 5 – N, 2} .

Задача 2.

Даны матрица А = || аij|| размерностью 3´3 и вектор-строка b. Найти произведения Ат × bт и b ×А;

аij = -i – j + M – N – 4, b = {M-5, 1, 4-N}/

Задача 3.

Даны матрицы А = || аij|| и В = || bij || размерностью 3´3. Проверить, коммутативны ли матрицы А и В, найти определители матриц. Элементы матриц вычисляются по формулам: аij = -i – j + M, bij = 2i - j + N – 5.

Задача 4.

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и с помощью формул Крамера.

х + 2у + 3z = 10,

-2х + у + (N-5)z = N-9,

 x – y + 6z = 7.

Задача 5.

Составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными так, чтобы она:

1)  имела единственное решение;

2)  не имела решений;

3)  имела бесконечно много решений.

Найти определители этих систем, учитывая, что каждое из уравнений системы является уравнением прямой линии на плоскости, изобразить эти прямые и пояснить, что означает каждый из трех вариантов с точки зрения взаимного расположения прямых.

Задача 6.

1)  Найти расстояние между точками А ( N + 2, -M – 1, M + N) и B ( M,N,M – N) в трехмерном пространстве.

2)  Найти точку пересечения прямых у = - (N +1)x +2 и y = (M +1)x – N – M.

3)  Найти уравнение прямой, проходящей через точку ( M +1,N +1) и перпендикулярной к прямой у = - 2х –1.

4)  какая кривая описывается уравнением (N+1)x2 + (M+1)y2 =4? Написать каноническое уравнение этой кривой.

Задача 7.

 Найти области определения функций:

а) у = 11 – N – 2x ; б) у = 1 ;

х2 + 2 M + 3 x + M + 2

Задача 8.

1. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел z1 = N + 1 +2i, z2 = -2 + (M +1)i.

2. Разложить на множители многочлен х2 – 2 N + 5 х + N + 6.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

Задача1.

1. Найти пределы:

а) lim [(N + 5)x2 + ( M +2) x + ( N + M)];

 x ®2

б) lim {(10 - N )ln[ e + tg (arcsin x )] + (10 - M)sin [ M + 1) arctg ex]};

 x ®0

в) lim (M+3)xN+5 + (M+1)xN+2+1

 x®¥ (2M+2)xN+5-1

г) lim N+1+(10-M)x – N+1 -(2M-9)x

 x®0 x

д) lim [ x2(N+1) + (M +5)xN+1 - x2(N+1) - (M +1) x N+1]

 х ®¥

е) lim sin [(10 – N)x]

 x ®0 ln[1+(12-M)x]

3.  В каких точках непрерывны функции:

а) у = tg (M+3)x ; б) y = 1 ;

x2 + 2 Ö N + 3 x + N + 2

Задача №2

Найти производные функций:

1) у = ( M+N+5)xM+N+2 2) y = ln(x+N)cos(M+2)x-e(N+1)x tg(M+2)x

3) y = arctg9N+2)x 4) y = sin[ln(3x+N+2)]-arctg[cos(M+3)x]

 ln(2x+M+1)

Задача 3.

Найти вторую производную функции у = е(N+2)чcos(М+2)х.

Задача 4.

Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенное значение функции

у = ln[1 + (N+2)x] при х = 0,1

5

Задача 5.

Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х = 0 до членов порядка х2 функцию

 у = cos (М+1)х + ln 1 + (N+2)х и найти ее приближенное значение при х = 0,1. Почему

3  4

это приближенное значение более точно соответствует истинному значению функции, чем приближенное значение, полученное с помощью первого дифференциала?

Задача 6.

Пользуясь формулой Тейлора, найти предел lim tg [(N+2)x] ;

 x®0 ln [ 1 –(M+3)x]

Задача 7.

Исследовать функции и построить их графики:

а) у = (N+2)x2+x+1 б) y = M+2

x x2+1.

Правила выполнения и оформления контрольных работ

В первом семестре выполняются контрольные работы 1 и 2. Вариант каждой задачи выбирается по последней и предпоследней цифрам номера студенческого билета (зачетной книжки). Последняя цифра обозначается буквой N, предпоследняя – буквой М. Например, для зачетной книжки № 147 N=7, М=4. При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1.  Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами синего или черного цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.

2.  В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (номер зачетной книжки), название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы в институт и адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.

3.  В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту контрольной работы. Задания, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.

4.  Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.

5.  Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

6.  Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7.  После получения прорецензированной работы, как не зачтенной, так и зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.

8.  Если рецензент предлагает внести в решения задач исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок.

9.  В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента о том, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10