Учебное пособие: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников

Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной пара

Классификация кривых второго порядка.

Рассмотрим общее уравнение второго порядка

и выясним, какие геометрические образы на плоскости могут задаваться этим уравнением.

 - каноническое уравнение эллипса.

 или , в зависимости от знака . Оба этих уравнения определяют гиперболу.

б) При =0 получаем уравнение , эквивалентное двум линейным уравнениям: и , задающим пару пересекающихся прямых.

а) к уравнению (11.8): , определяющему параболу;

б) к уравнению , или , задающему пару параллельных прямых;

в) к уравнению , определяющему одну прямую (или пару совпадающих прямых);

г) к уравнению , не имеющему решений и, следовательно, не определяющему никакого геометрического образа.

Вопросы для самопроверки.

1)  Что называется направленным отрезком и его длиной?

2)  Какой вектор равен сумме двух взаимно противоположных векторов с равными модулями?

3)  Чему равно скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов? параллельных векторов?

4)  Чему равно скалярное произведение ортов координатных осей?

5)  Выведите формулу для определения расстояния между точками на плоскости.

6)  Выведите из общего уравнения прямой уравнение с угловым коэффициентом.

Чему равен коэффициент при х в этом уравнении?

7)  Сформулируйте условие параллельности и перпендикулярности двух прямых для общего уравнения прямой.

8)  каким свойством обладает прямая у = kх + bпри b= 0?

9)  как находят точку пересечения двух прямых? Сформулируйте условие, при котором две прямые не имеют ни одной общей точки пересечения.

10)  как из общего уравнения плоскости найти точки ее пересечения с координатными осями?

11)  Что такое эллипс и гипербола? Напишите их канонические уравнения.

12)  Почему эллипс, гипербола и парабола называются кривыми второго порядка?

13)  В какую кривую переходит эллипс при a = b? Напишите уравнение этой кривой.

14)  Исходя из канонического уравнения, изобразите график параболы. Чем эта парабола отличается от известной параболы из школьного курса?

ТЕМА 4. ФУНКЦИИ

Переменные и постоянные величины. Понятие функции. Область определения. способы задания функций. Возрастание и убывание. Неявные, сложные функции. Элементарные функции.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Если каждому значению переменной величины х, принадлежащей некоторому числовому множеству, соответствует одно определенной значение другой переменной величины у, то у называется функцией от х. Зависимость переменной у от переменной х называется функциональной зависимостью и обозначается у= у(х) или y=f(x). совокупность значений независимой переменной, для которой задана функциональная зависимость, называется областью определения функции.

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте определение функции. Является ли парабола, определяемая каноническим уравнением, графиком функции?

2.Что такое область определения функции? приведите пример функции, областью определения которой является не вся числовая ось.

3.Что такое монотонно возрастающая функция?

4.Что такое график функции? Приведите пример.

5.Какие существуют способы задания функции?

6.Что такое сложная функция? Приведите пример.

7.Приведите пример неявной функции. Почему не всякую неявную функцию можно свести к явной?

8.Какие функции называются элементарными?

ТЕМА 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ

Комплексные числа. Операции с комплексными числами. Представление в прямоугольной системе координат. Многочлены. Корни многочленов с действительными коэффициентами.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (а,b) : z = (a,b) (термин «упорядоченная» означает, что в записи комплексного числа важен порядок чисел а и b: (a,b)≠(b,a) ). При этом первое число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается a = Re z, а второе число b называется мнимой частью z: b = Im z.

Два комплексных числа z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ) равны тогда и только тогда, когда у них равны действительные и мнимые части, то есть a1 = a2, b1 = b2.

Действия над комплексными числами.

1.Суммой комплексных чисел z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ) называется комплексное число z = (a,b) такое, что a = a1 + a2 , b = b1 + b2 .

Свойства сложения:

а) z1 + z2 = z2 + z1;

б) z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3;

в) существует комплексное число 0 = (0,0): z + 0 = z для любого комплексного числа z.

1.  Произведением комплексных чисел z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ) называется комплексное число z = (a,b) такое, что a = a1a2 – b1b2 , b = a1b2 + a2b1 .

Свойства умножения:

а) z1z2 = z2z1 ;

б) z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3,

в) (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3 .

Замечание. Подмножеством множества комплексных чисел является множество действительных чисел, определяемых как комплексные числа вида (а,0). Можно убедиться, что при этом определение операций над комплексными числами сохраняет известные правила соответствующих операций над действительными числами. Кроме того, действительное число 1 = (1,0) сохраняет свое свойство при умножении на любое комплексное число: 1∙ z = z.

Комплексное число (0, b) называется чисто мнимым . В частности, число (0,1) называют мнимой единицей и обозначают символом i.

Свойства мнимой единицы:

1)i∙i=i² = -1; 2) чисто мнимое число (0,b) можно представить как произведение действительного числа (b,0) и i : (b,0) = b∙i.

Следовательно, любое комплексное число z = (a,b) можно представить в виде: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Запись вида z = a + ib называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Замечание. Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.

Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z = a + ib.

3.Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению: z =(a,b) называется разностью комплексных чисел z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ), если a = a1 – a2 , b = b1 – b2.

4.Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению: число z = a + ib называется частным от деления z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 (z2 ≠ 0), если z1 = z∙z2. Следовательно, действительную и мнимую части частного можно найти из решения системы уравнений: a2 a – b2 b = a1 , b2 a + a2 b = b1.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Комплексное число z = (a,b) можно представить в виде точки на плоскости с координатами (a,b) или вектора с началом в начале координат и концом в точке (a,b).

Запись вида

z = ρ (cos φ + isin φ)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

В свою очередь, модуль и аргумент комплексного числа можно выразить через а и b:  . Следовательно, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2π.

Частным случаем операции умножения является возведение в степень:

 формула Муавра.

Используя полученные соотношения, перечислим основные свойства комплексно сопряженных чисел:

Извлечение корня из комплексного числа.

Комплексное число  называется корнем n-й степени из z, если z = z1n.

Пример. Число z = 16 можно представить в тригонометрической форме следующим образом: z = 16(cos0 + isin0). Найдем все значения :

Показательная форма комплексного числа.

Введем еще одну форму записи комплексного числа. На множестве комплексных чисел существует связь между тригонометрическими и показательными функциями, задаваемая формулой Эйлера:

, Используя эту формулу, можно получить из еще один вид комплексного числа:  который называется показательной формой записи комплексного числа.

Рассмотрим в комплексной области многочлен, то есть функцию вида

, где  - комплексные числа. Числа  называются коэффициентами многочлена, а натуральное число n – его степенью.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10