Учебное пособие: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников
  .
Нахождение производной функции y = f(x) называется
дифференцированием.
Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно
вычислить f¢(x), то функция f(x) называется
дифференцируемой на промежутке (a, b).
Геометрический смысл производной заключается в том, что
производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к
графику функции в этой точке.
Производная это скорость изменения функции в точке x. Из
определения производной следует, что f¢ (x) » Df / Dx, причем точность
этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Dx. Производная f¢ (x) является
приближенным коэффициентом пропорциональности между Df и Dx.
Таблица производных элементарных функций.
| f(x) |
|
f(x) |
|
f(x) |
|
| C |
0 |
|
|
cosx |
-sinx |
| x |
1 |
lnx |
1/x |
tgx |
1/cos2x
|
|
xn
|
nxn-1
|
ax
|
axlna
|
arcsina |
|
|
|
1/(2 )
|
|
|
arccosa |
-
|
| 1/x |
-1 / x2
|
sinx |
cosx |
arctgx |
1/(1+x2)
|
Основные свойства
производной.
1. Если функция имеет
производную в точке, то она непрерывна в этой точке.
2. Если существует f¢ (x) , и С ‑ произвольное
число, то функция  имеет производную: (Cf(x))¢ = Cf¢ (x).
3. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x), то функция
S(x) = f(x) + g(x) имеет производную: S¢ (x) = f¢ (x) + g¢ (x).
4. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x), то функция
P(x) = f(x)g(x) имеет производную: P¢ (x) = f¢ (x)g(x) + f(x)g¢ (x).
5. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x) и при этом g(x) ¹ 0, то функция
D(x) = f(x) / g(x) имеет производную: D¢ (x) = (f¢ (x) g(x) f(x) g¢ (x)) / g2(x).
Производная сложной функции.
Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z)
имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция
F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F¢ (x) = f¢ (z) g¢ (x).
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
