Реферат: Динамика вращательного движения твердого тела

4 кг;

10 м/с2.

____________

а  ?

Решение: Линейное ускорение а гири равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности, и связано с угловым ускорением  вала соотношением

,(1)

где  радиус вала. Угловое ускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела:

,(2)

где  вращающий момент, действующий на вал;  - момент инерций вала.

Рассмотрим вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен

.(3)

Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения нити Т шнура на радиус вала:

.(4)

(Учитывая, что шнур невесомый и нерастяжимый, ).

Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: силы тяжести , направленная вниз, и сила натяжения  шнура, направленная вверх; равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Ньютона , откуда

.(5)

Таким образом, вращающий момент равен

.(6)

Подставив в (2) выражения (3) и (6), получаем

.(7)

Ускорение гири найдем из (1) после подстановки туда выражения (7) , откуда

 4 м/с2.

Пример 6

Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Зависимость угла поворота диска от времени даётся уравнением  где С=2 рад/с2. Вращению диска противодействует тормозящий момент сил трения 1 Нм. Определить величину касательной силы , приложенной к ободу диска.

Дано:

0,2 м;

5 кг;

;

С=2 рад/с2;

1 Нм.

 ?

Рис. 7

Решение: Касательная сила , приложенная к ободу диска, создает вращающий момент сил , который по определению момента сил равен произведению величины этой силы  и её плеча; плечом силы  в нашем случае является радиус диска, поэтому

.(1)

Вращающему моменту сил  противодействует момент сил трения .

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения произведение момента инерции диска  и его углового ускорения  равно векторной сумме моментов сил, приложенных к диску относительно центра вращения тч. О.

(2)

Поскольку векторы моментов сил  и  антинаправлены (в чём можно убедиться, используя правило правого винта), то в проекциях на ось ОХ этот закон примет вид

.(3)

Момент инерции диска относительно оси вращения определяется по формуле

.(4)

Угловое ускорение диска найдем как вторую производную угла поворота диска по времени:

, .(5)

Решая совместно (1) – (5), получаем

.(6)

После подстановки в (6) численных значений

7 Н.

Пример 7

Вследствие действия приливов продолжительность суток на Земле увеличивается за время 100 лет на 10-3 с. Определите приливную силу трения. Землю считать однородным шаром массой 61024 кг и радиусом 6,4106м.

Дано:

100 лет;

10-3 с;

6.1024 кг;

6,4.106м.

 ?

Решение: Из основного уравнения динамики вращательного движения изменение момента импульса Земли  равно произведению момента приливной силы  на время его действия :

=(1)

Момент инерции Земли (однородный шар массой  и радиусом )

.(2)

Изменения угловой скорости Земли равно

,(3)

где  - период вращения Земли (24 ч=8,64104 с); .

Момент приливной силы трения

.(4)

После подстановки (2), (3) и (4) в выражение (1), получаем

, откуда

.(5)

После подстановки в (5) численных значений получаем

6109 Н.

Пример 8

 Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кгм2, вращается с частотой 20 с-1. В некоторый момент времени на него стала действовать тормозящая сила, в результате чего колесо через 1 мин остановилось. Радиус колеса 0,2 м. Найти величину тормозящего момента силы  и число полных оборотов , сделанных колесом до остановки.

Дано:

245 кг.м2;

20 с-1;

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6