Реферат: Динамика вращательного движения твердого тела

Рис. 2

Решение: Согласно теоремы Штейнера момент инерции цилиндра  относительно оси  равен сумме его момента инерции  относительно оси симметрии , проходящей через центр цилиндра С, и произведения массы цилиндра  на квадрат расстояния  между осями  и :

.(1)

Момент инерции цилиндра  относительно оси  определяется формулой , где , поэтому

.(2)

Массу цилиндра выразим через его плотность  и объем :

, где , поэтому ; площадь основания цилиндра  и, следовательно,

.(3)

Расстояние между осями  и  . (4)

Подставив (2), (3) и (4) в (1), получаем

+

Пример 2

Два маленьких шарика массой 10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной 20 см. Определить момент инерции  системы, относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

Дано:

10 г10-2 кг;

20 см0,2 м.

?

Рис. 3

Решение: Общий момент инерции, проходящий через центр масс системы (точка С) равен сумме моментов инерции двух материальных точек массой  каждая и вращающихся вокруг оси  на расстоянии .

 2.10-4 кгм2.

Пример 3

Найти момент инерции  плоской однородной прямоугольной пластины массой 800 г относительно оси, совпадающей с одной из её сторон, если длина другой стороны равна а30 см.

Дано:

800 г0,8 кг;

а30 см0,3 м.

 ?

Рис. 4

Решение: Найдем момент инерции пластины относительно оси . Для этого разобьем пластину на бесконечно малые участки массой  (один из них выделен на рис. 4).

,(1)

где  - поверхностная плотность пластины;

 - площадь пластины.

Так как участок массой  можно считать материальной точкой, то момент инерции этого участка относительно оси

.(2)

После подстановки выражения (1) в (2) получаем

.(3)

Складывая моменты инерции всех участков, проинтегрируем полученное выражение в пределах от 0 до а:

.(4)

Подставив численные значения, найдем

2,410-2 кгм2.

Пример 4

Обруч массой 1 кг и радиусом  0,2 м вращается равномерно с частотой 3 с-1 относительно оси , проходящей через середину его радиуса перпендикулярно плоскости обруча. Определить момент импульса обруча .

Дано:

1 кг;

 0,2 м;

3 с-1.

 ?

Рис. 5

Решение: Момент импульса твердого тела равен произведению момента инерции этого тела  и его угловой скорости :

.(1)

Момент инерции обруча относительно оси  по теореме Штейнера равен сумме момента инерции этого обруча  относительно оси , проходящей через его центр С, и произведения массы обруча  на квадрат расстояния  между осями  и , которое, как следует из рисунка, равно

:

,(2)

где . (3)

Угловая скорость  обруча связана с его частотой вращения  соотношением

.(4)

Подставив выражение (2), (3) и (4) в (1), получаем

0,94 кгм2с-1.

Пример 5

Вал в виде сплошного цилиндра массой 12 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой 4 кг. С каким ускорением а будет опускаться гиря, если её предоставить самой себе?

Рис. 6

Дано:

12 кг;

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6