Дипломная работа: Математическое моделирование роста доходности страховой компании
k’(t)=(1-m)j(k1(t),k2(t))-(g+d+pc)k(t)-(Cm+1)
k’1(t)=
k’2(t)= 
где
U(t)= (1 -m)z(k1(t),k2(t)) + Cm +1
V1(t)= Cm
+1+z(k1(t),k2(t))((1 -m) +j’k1( k1(t),k2(t))(1 -m)-(g+d+pc+r))
V2(t)= Cm
+1+z(k1(t),k2(t))((1 -m) +j’k2( k1(t),k2(t))(1 -m)-(g+d+pc+r))
Рассмотрим случай, когда
оба агента участвуют в формировании капитала фирмы в равных долях. Тогда (при n=1) рассматриваемая модель сводится к
сличаю приведенному в §1. Однако, если доли не равны, то приходим к качественно
новой задаче.
§3 Математический анализ
многосекторной модели роста доходности страховой компании
Напишем ее формулировку.
Максимизировать
¥ n n -rt
J(t)=ò( åaIj(t)+ å(1-a)Rj(t))e dt
0 j=1 j=1
при ограничениях
Rj(t)=F(Kj(t), L(t)) "j j=1,n
Ij(t)=m jRj(t), 0<mj<1,"j,j=1,n
n
(1- m)R(t)= åWaj(t)+L(t)+K’(t)+dK(t)+p(t)K(t)
j=1
Waj(t) = gKj(t)+CmL(t) "j,j=1,n
0<g<1, 0<Cm <1,
0<d<1
0<a<1, p(t)³pc
L(0)=L0,
L0>0, K(0)=K0, K0>0
Выпишем модель для случая
n=2.
Максимизировать
?
ò (a(m1 R1(t) + m1R2(t)) + (1-a) (R1(t)+R(t)) e -rt dt
0
при условии
(1-m1-m2)R(t)=g( K1(t)+ K2(t))+ CmL(t)+L(t) + dK(t)+K’(t)+p(t)K(t),
0<d<1, p(t)³pc,0<g+d+p<1
L(0)=L0, L0>0 K(0)=K0,K0>0
K0 - начальный капитал фирмы, L0 - начальное количество работников.
Выпишем функцию Лагранжа,
учитывая (2.6), (1.1) и тот факт, что F(Kî(t),L(t)) "j,j=1,2 однородна, получим:
W(t)=(am1L(t)j( ( )+am2L(t)j( ( )+(1- a)L(t)j( ( )e-rt + l(t)( -(1-m1-m2)L(t)j(( ) + (g+d+pc)K(t) + (Cm +1)L(t) + K’(t))
В результате исходная
модель записывается в виде (2.1)-(2.3)
Далее, выпишем систему уравнений
Эйлера - Лагранжа, вытекающую из (2.1)-(2.3)
( am1j ‘( ) + (1-a)j’( )e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m1-m2)j’( )-l’(t)=0
( am2j ‘( ) + (1-a)j’( )e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m1-m2)j’( )-l’(t)=0
(a ( m1j( ) +m2j( )-(m1j’( ) +m2j’ ( ) )) + (1-a) (j( )-j’( ) ))e -rt+l(t)((1-m1-m2)j’( ) -(1-m1-m2)j( ) + Cm+1)=0
K’(t)-(1-m)L(t)j( )+(g+d+pc)K(t)+(Cm+1 )L(t)=0 (3.1)
Перепишем последнюю
систему в удобном виде.
l¢(t)=(am1j’( )+(1-a)j’( ))e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m1-m2)j’(( ))
l¢(t)=(am2j’( )+(1-a)j’( ))e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m1-m2)j’(( ))
(am1(j( )-j’( ) )+am2(j( )-j’( ) )+(1-a)(j( )-j’( ) ))e-rt+l(t)((1-m1-m2)(j’( ) -j( ))+Cm+1)=0
K’(t)-(1-m)L(t)j( )+(g+d+pc)K(t)+(Cm+1 )L(t)=0 (3.2)
Проведя аналогичные
рассуждения, что и в §1, введем обозначения аналогичные (1.8) z(kj(t)) = j’(kj(t)) kj(t) -j( kj(t) ) для j=1,2. (3.3)
Разделив (3.2) на L(t) и учитывая обозначения (3.3) и (1.8), получим:
l’(t)=(am1j’(k1(t))+(1-a)j’(k(t)))e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m1-m2)j’(k(t))) (3.4)
l’(t)=(am2j’(k2(t))+(1-a)j’(k(t)))e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m1-m2)j’(k(t))) (3.5)
-rt
l(t)= (3.6)
k’(t) = (1 -m)j(k(t))-(g+d+pc)k(t) - (Cm + 1) (3.7)
После дифференцирования (3.7)
по t получим:
l¢(t) = e-rt[(am1z’(k1(t))+am2z’(k2(t))+(1-a) z’(k(t)))(Cm+1+(1-m1-m2)z(k(t))) - (am1z(k1(t))+am2z(k2(t))+(1-a)z(k(t)))(1-m1-m2)z’(k(t))]/ [(1-m1-m2)z(k(t)) + Cm + 1 ]2 - rl(t) (3.8)
Учитывая (1.8) и
аналогичные выражения для z(kj(t)) для j=1,2,получаем,
что формула (3.8) примет вид:
l¢(t)=e-rt[(am1j’’(k1(t))k’1(t)k1(t)+am2j’’(k2(t))k’2(t)k2(t)+(1-a)j’’(k(t)) k’(t)k(t))(Cm+1+(1-m1-m2)z(k(t)))-(am1z(k1(t))+am2z(k2(t))+(1-a)z(k(t)))(1-m1-m2) j’’(k(t))k’(t)k(t))]/ [(1-m1-m2)z(k(t)) + Cm + 1
]2 - rl(t) (3.9)
Подставляем в (3.9) соотношения
(3.5),(3.7) и (3.6),(3.7), получим, что темп изменения капиталовооруженностей
вычисляется по формулам:
k’(t) = (1 -m)j(k(t))-(g+d+pc)k(t) - (Cm +
1)
k’1(t)=[(am1j’(k1(t))+(1-a)j’(k(t)))U(t)+(g+d+pc-(1-m1-m2)j’(k(t)))
k’2(t)=[(am2j’(k2(t))+(1-a)j’(k(t)))U(t)+(g+d+pc-(1-m1-m2)j’(k(t)))

где
U(t) = (1-m1-m2 ) z(k(t)) + 1 + Cm
Если заданы параметры a, m1, m2,
Cm,d, g может быть рассчитана
капиталовооруженность по каждому виду страхования. Это позволит сделать
обоснованные выводы о целесообразности включения нового вида страхования.
§4
Анализ дискретного аналога простейшей модели роста доходности страховой
компании
Разработка и качественный
анализ задач управления показал их теоретическую значимость для определения
путей совершенствования работы страховых фирм и одновременно наличие
вычислительных и информационных трудностей в их реализации. Однако, используя
логику приведенных выше соотношений, можно сформулировать дискретные аналоги
моделей, позволяющие записать задачу в виде привычных достаточно легко
реализуемых задач оптимизации и разрешить их имеющимися математическими и
программными средствами. Этот путь был реализован для простейшей модели.
Рассматриваемая модель
имеет вид:
aIT+(1-a)(RT+pcKT) ® max
при ограничениях
It=mRt-1-haD Kt-1 "t t=1,T
Rt=F(Kt,Lt)
"t
t=1,T
Kt=Kt-1+(1-a)D Kt "t t=1,T
Lt=Lt-1+D Lt "t t=1,T
(1-m)Rt=Wat+Lt+dKt+pcKt "t t=1,T
Wat=g Kt+CmLt "t t=1,T
0<a<1,0<m<1,0<h<1,Kt>0,
Lt>0, DKt>0, DLt>0 "t t=1,T
K0, L0,а, d, pc,g, Cm-
заданы
Для реализации этой
модели предлагается использовать метод Соболя.
Отличительной чертой
данного метода является систематический просмотр многомерных областей: в
качестве пробных точек в пространстве параметров (переменных) используются
точки равномерно распределенных последовательностей. Для этих целей были
применены так называемые ЛПt- последовательности, которые обладают наилучшими
характеристиками равномерности. Подробнее этот метод приведен в [11] с
обоснованием и доказательством сходимости последовательностей к решению.
Сверхбыстрый алгоритм. В
работе [12] предложен способ расчета ЛПt- последовательностей. Для этого порядок следования точек Qi меняется так, чтобы каждая следующая
точка Qi вычислялась по предыдущей точке Qi-1 с помощью одной операции , где означает поразрядное
сложение по модулю два в двоичной системе (операция “ исключающее ИЛИ”).
Приведем таблицу истинности для этой логической операции:
x
|
y |
x y
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |