Дипломная работа: Математическое моделирование роста доходности страховой компании

          0 j=1        j=1

Здесь Ij(t)- доход агента, где j=1,n. Rj(t) - объем заключенных договоров j-ым агентом, в руб.

Rj(t) можно представить в виде производственной функции.

Rj(t)=F(Kj(t), L(t)), "j j=1,n.                                                            (2.6).

Из рассуждений приведенных в п.2 доход j - го страхового агента определяется по формуле

Ij(t)=mjRj(t), "j j=1,n.

Рассуждения, связанные с распределением дохода страховой компании аналогичны приведенным выше. ( п.2). Соответственно сохраняются выражения (2.4) и (2.5).

Таким образом многосекторная модель имеет вид

Максимизировать

           ¥ n           n

J(t)=ò( åaIj(t)+ å(1-a)Rj(t))e -rt dt

           0 j=1        j=1

при ограничениях

Rj(t)=F(Kj(t), L(t)) "j j=1,n

Ij(t)=m jRj(t) "j,j=1,n

                   n

(1- m)R(t)= åWaj(t)+L(t)+K’(t)+dK(t)+p(t)K(t)

                  j=1

Waj(t) = gKj(t)+CmL(t) "j,j=1,n

0<g<1, 0<Cm <1, 0<d<1

0<a<1, 0<m<1, p(t)³pc

L(0)=L0, L0>0, K(0)=K0, K0>0

п.4 Дискретный аналог простейшей модели роста доходности.

Дискретным аналогом простейшей модели является следующая модель, при постановке которой использовалась идея модели Лурье [6,стр.173]

aIT+(1-a)(RT+pcKT) ® max

при ограничениях

It=mRt-1-haD Kt-1 "t t=1,T

Rt=F(Kt,Lt) "t t=1,T

Kt=Kt-1+(1-a)D Kt "t t=1,T

Lt=Lt-1+D Lt "t t=1,T

(1-m)Rt=Wat+Lt+dKt+pcKt "t t=1,T

Wat=g Kt+CmLt "t t=1,T

0<a<1,0<m<1,0<h<1,Kt>0, Lt>0, DKt>0, DLt>0 "t t=1,T

K0, L0,а, d, pc,g, Cm- заданы

Здесь Т- конец рассматриваемого периода, а- доля выплат в общем потоке поступления средств, h - коэффициент штрафа, DKt-величина поступления оборотного капитала в период t, DLt- величина поступления фонда оплаты труда в период t.

Все остальные обозначения смотри в п.1.

Глава 2. Математический анализ моделей роста доходности страховой компании

§1 Математические анализ модели роста доходности страховой компании

Рассмотрим простейший аналог модели, приведенный в §2 главы 1. Приведем ее формулировку:

Максимизировать

?

ò (aI(t) + (1-a) R(t)) e-rt dt

0

при условии

(1-m)R(t)=gK(t)+CmL(t)+L(t)+dK(t)+K’(t)+p(t)K, 0<d<1

p(t)³pc,0<g+d+p<1,0<a<1, 0<m<1

L(0)=L0, L0>0 K(0)= K0, K0>0

K0 - начальный капитал фирмы, L0 - начальное значение фонда оплаты труда. Осуществим некоторые упрощения.

Предположим, что p(t)=pc. (1.1)

Учитывая (2.1) (гл.1) и тот факт, что F(K(t),L(t)) однородна и построив функцию Лагранжа, получим:

W(t)=(1- a+am)Lj(K(t)/L(t))e-rt + l(t)( -(1-m)L(t)j(K(t)/L(t)) + (g+d+pc)K(t) + (Cm + 1)L(t) + K’(t))

В результате исходная модель приводится к виду:

?

ò W(t) dt ®max                                                                                 (1.2)

0

при условиях

L(0)=L0, K(0)=K0                                                                                        (1.3)

0<g+d+pc<1,0<a<1, 0<m<1,0<Cm<1                                                         (1.4)

Далее, выпишем систему уравнений Эйлера - Лагранжа, вытекающую из (1.2)-(1.4)

Перепишем последнюю систему в удобном виде.

l¢(t)=(1-a+am)j’()e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m)j’()

e-rt(1-a+am)(j()-j’())+l(t)((1-m)(j’()-j())+ Cm+1)=0

K’(t)-(1-m)L(t)j( )+(g+d+pc)K(t)+(Cm+1)L(t)=0                      (1.5)

Обозначим k(t)=K(t)/L(t) и продифференцируем по t

k’(t)=                                                                       (1.6)

Из (1.5) учитывая, что n(t)=(dL/dt)/L(t), получим:

K’(t)/L(t) = k’(t)+ k (t)n(t)                                                                (1.7)

ля упрощения выписанных выше выражений введем еще одно обозначение: z(k) = j’(k) k -j(k) (1.8)

Функция j(k) построена на основе F(,1) и поэтому для нее выполняются следующие свойства:

a)  j¢(k)>0

b)  j¢¢(k)<0

c)  j’(k) ® ? для k ® 0

d)  j’(k) ® 0 для k ® ?

Разделив последнее уравнение из (1.5) на L(t) и учтя обозначения, получим:

l’(t)= (1-a+am)j’(k(t))e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m)j’(k(t))) (1.9)

l(t) =( 1-a+am)z(k(t))e-rt /((1-m)z(k(t))+Cm+ 1) (1.10)

k’(t)=(1-m)j(k(t))-(g+d+pc)k(t)- (Cm+1) (1.11)

Продифференцировав (1.10) по t, получим:

-rt

l¢(t)=2 -rl(t)                                                      (1.12)

Учитывая, что

z’(k(t)) =j’’(k(t))k’(t)k(t)                                                        (1.13),

получаем, что формула (1.12) примет вид.

-rt

l¢(t)=2-rl(t)                                 (1.14)

Подставляя в (1.14) соотношения (1.9) и (1.10), выясним, что темп изменения капиталовооруженности вычисляется по формуле:

k’(t) =                            (1.15)

где

U(t) = (1 -m ) z(k(t)) + 1 + Cm

V(t) =(1-a+am)(j¢(k(t))U(t) + z(k(t))(r + d+g+pc-(1-m)j¢(k(t)))

Проведем качественный анализ уравнения ( 1.15 ).

Так как j¢(k) <0 для k >0, знаменатель в ( 1.15 ) отрицателен.(Мы предполагаем, что (1-a+am)(1+Cm)>0).

Далее из условий на функцию j(k) для z(k)=j¢(k)k-j(k) получаем z(k)£0 и z(k)® 0 при k ®0, и z(k) ® - ? при к ® ?. Для малых k

получаем U>0, V>0, так как j¢(k) - большое число, то k’<0. Для больших k получаем U<0, V<0, так как z(k) ® - ?, следовательно k’ <0. Из монотонного убывания U и V, что каждое из рассматриваемых уравнений U=0 и V=0 имеет единственный корень.

Таким образом область разбивается на три участка: kÎ[0,k1),

k Î[ k1, k2),kÎ[ k2,¥)

Из рисунка 1 видно, что существует одна точка не устойчивого равновесия k1(m) и две точки 0 и k2(m) устойчивого равновесия. Нетрудно видеть, что k1(m) и k2(a,m) монотонно возрастающие функции по m. Если начальное значение k0=K0/L0 меньше чем k1(m), тогда k® 0 и фирма гибнет. В противном случае размеры фирмы стабилизируются и стремятся к k2(m). Следовательно мы можем рассматривать k2(m) как оптимальный размер фирмы для данных значений параметров управления a,m,g,d,Wr,Cm. Таким образом, если заданы величины указанных выше параметров, то по величине k(t)= может быть оценено качество начального состояния и перспективы развития страховой компании.

Предлагается следующий путь:

Если <K(0), то необходимы меры по росту капитала или уменьшению L(t).Если есть возможность увеличить капитал, например за счет кредита, то получаем следующую задачу:

>K(0)

DK(t)®max

Если нет никакой возможности по увеличению капитала, то уменьшают фонд оплаты труда. В этом случае задача выглядит следующим образом:

>K(0)

L(t)*<L(t)<L(t)**

DL(t)®min

Приведем пример расчетов оптимального размера фирмы.

Рассмотрим влияние изменений параметра управления a на оптимальный размер страховой компании. Данные для расчета были предоставлены компанией Росгосстрах. Предполагается, что d=0.13, g=0.03, m= 0.1, Cm=0.8. Тогда зависимость k1, k2 представлены в таблице 1.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7