Дипломная работа: Математическое моделирование роста доходности страховой компании
Таб.1
Можно исследовать
значения k1 и k2
для других
значений параметров, полагая m= 0.05, получаем таблицу 2.
a |
0 |
1/4 |
1/2 |
3/4 |
1 |
k1
|
6.8 |
6.8 |
6.8 |
6.8 |
6.8 |
k2
|
3.4 |
3.23 |
3.15 |
3.13 |
3 |
Таб.2
Окончательно заметим, что
изменение ставки комиссионного вознаграждения m при фиксированном капитале К ведет к уменьшению
капиталовооруженности k.
§2 Математический анализ многомерной
модели роста доходности страховых компаний
Рассматриваемая модель
имеет вид:
Максимизировать
m R(t) + (1-a) R(t)) e-rt dt
при условии
(1-m)R(t)=+(Cm+1)L(t) + dK(t)+ K’(t)+ p(t)K,
0<d<1, p(t)³pc, 0<g+d+p<1,0<a<1, 0<m<1
L(0)= L0, L0>0 K(0)= K0,K0>0
K0 - начальный оборотный капитал фирмы, L0 - начальный фонд оплаты труда штатных работников.
Будем рассматривать случай
для n=2. Тогда рассматриваемая модель
примет вид:
Максимизировать
(am (b1+b2)R(t) + (1-a) R(t)) e -rt dt
при условии
(1-m)R(t)=g(K1(t)+K2(t))+CmL(t)+L(t)+dK(t)+K’(t)+p(t)K(t),
0<d<1, p(t)³pc, 0<g+d+p<1, 0<a<1, 0<m<1
L(0)=L0, L0>0 K(0)= K0, K0>0
Выпишем функцию Лагранжа,
учитывая (2.3) (гл.1) для случая n=2,(1.1)
и тот факт, что F(K1(t), K2(t),L(t)) однородна, получим:
W(t)=(1- a+am(b1+b2))L(t)je-rt+
l(t)(-(1-m)L(t) j + (g+d+pc)K(t) + (Cm + 1)L(t) + K’(t))
В результате исходная
модель примет вид:
W(t) dt ® max (2.1)
при условиях L(0)=L0, K(0)=K0 (2.2)
0<d<1, 0<g+d+pc<1, 0<a<1, 0<m<1
(2.3)
Далее, выпишем систему уравнений
Эйлера - Лагранжа, вытекающую из (2.1)-(2.3)
(1-a+am(b1+b2))j’k1/le-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m)
j’ )-l’(t)=0
(1-a+am(b1+b2))j’k2/l)e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m)j’k2/l) -l’(t)=0
l(t)=[(1-a+am(b1+b2))(j’k1/l+ j’k2/l -j+e-rt]/[(1-m)(j’k1/l+
j’ -j-Cm-1]
K’(t)-(1-m)L(t)j +(g+d+pc)K(t)+(Cm+1)L(t)=0
Перепишем последнюю
систему в удобном виде.
l’(t)=(1-a+am(b1+b2))j’k1/l l)e-rt+
l(t)(g+d+pc-(1-m)j’k1/l l)
l’(t)=(1-a+am(b1+b2))j’k2/l le-rt+
l(t)(g+d+pc-(1-m)j’k2/l l)
l(t)=[(1-a+am(b1+b2))(j’k1/l+ j’k2/l -j+e-rt]/[(1-m)(j’k1/l+
j’ -j-Cm-1]
K’(t)=(1-m)L(t)j -(g+d+pc)K(t)-(Cm+1)L(t) (2.4)
Обозначим
k(t)=K(t)/L(t),
k1(t)=K1(t)/L(t), k2(t)=K2(t)/L(t) и n(t)=(dL/dt)/L (2.5)
и проведем аналогичные §1 рассуждения. Тогда справедливо
соотношение (1.7).
Для упрощения полученной
системы введем еще одно обозначение:
z(k(t)) = j’k1(t)(k1(t),k2(t)) k1(t) +j’k2(t)(k1(t),k2(t)) k2(t)-j(k1(t),k2(t))
Разделив уравнение (2.4)
на L(t) и учитывая обозначения, получим:
l’(t)=(1-a+am(b1+b2))j’k1(k1(t), k2(t))e-rt+
l(t)(g+d+pc-(1-m)j’k1(k1(t), k2(t))) (2.6)
l’(t)=(1-a+am(b1+b2))j’k2(k1(t),k2(t))e-rt+
l(t)(g+d+pc-(1-m)j’k2(k1(t), k2(t))) (2.7)
l(t)=[(1-a+am(b1+b2))z(k1(t),k2(t))e-rt]/[(1-m)(z(k1(t),k2(t))+Cm+1]
(2.8)
k’(t)=(1-m)j(k1(t),k2(t))-(g+d+pc)k(t)-(Cm+1) (2.9)
Продифференцируем (2.8) по
t. Получим:
-rt
l¢(t)=2 -rl(t) (2.10)
Учитывая, что z’(k1(t),k2(t)) =j’’k1k1( k1(t),k2(t))k’1(t)k1(t) +j’’k2k2( k1(t),k2(t))k’2(t)k2(t), получаем, что
формула (2.10) примет вид
l¢(t) =e -rt(j’’k1k1( k1(t),k2(t))k’1(t)k1(t) +j’’k2k2( k1(t),k2(t))k’2(t)k2(t))(1- a+am(b1+b2))(Cm+1) / [(1 -m)z(k1(t),k2(t)) + Cm +1]
2 - rl(t) (2.11)
Подставляем в (2.11) соотношения
(2.6) и (2.8), (2.7) и (2.8) соответственно, получим, что темп изменения
капиталовооруженности вычисляется по формулам:
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |