Реферат: Понятие о физической величине. Международная система единиц физических величин СИ

Так как функция у(х) выражается многочленом (7.1) n-ой степени относительно х, то разности также являются многочленами, степени которых понижаются на единицу при переходе к последующей разности. N-я разность многочлена n-ой степени является постоянным числом, т. е. содержит х в нулевой степени. Все разности более высокого порядка равны нулю. Это определяет степень интерполирующего многочлена.

Преобразовав функцию (7.1), можно получить первую интерполяционную формулу Ньютона:

.                   (7.5)

Она используется для нахождения значений у при любых х в пределах измерений. Представим эту формулу (7.5) в несколько ином виде:

.            (7.6)

Последние две формулы иногда называют интерполяционными формулами Ньютона для интерполирования вперед. В эти формулы входят разности, идущие по диагонали вниз, и их удобно использовать в начале таблицы экспериментальных данных, где разностей достаточно.

Вторая интерполяционная формула Ньютона, выведенная из того же уравнения (7.1), выглядит следующим образом:

.                 (7.7)

Данную формулу (7.7) принято называть интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования назад. Она используется для определения значений у в конце таблицы.

Теперь рассмотрим интерполяцию при неравноотстоящих значениях аргумента.

Пусть по-прежнему функция у(х) задается рядом значений хi и уi, но интервалы между последовательными значениями хi неодинаковы. Использовать вышеприведенные формулы Ньютона нельзя, так как они содержат постоянный шаг h. В задачах такого рода необходимо вычислить приведенные разности:

;                    и т. д.

;      и т. д.                          (7.8)

Разности более высоких порядков вычисляются аналогично. Как и для случая равноотстоящих значений аргумента, если f(х) – многочлен n-ой степени, то разности n-го порядка постоянны, а разности более высокого порядка равны нулю. В простых случаях таблицы приведенных разностей имеют вид, аналогичный таблицам разностей при равноотстоящих значениях аргумента.

Помимо рассмотренных интерполяционных формул Ньютона часто применяют интерполяционную формулу Лагранжа:

.     (7.9)

В этой формуле каждое из слагаемых представляет собой многочлен n-ой степени и все они равноправны. Поэтому до окончания вычислений нельзя пренебрегать какими-либо из них.

Обратное интерполирование. На практике иногда бывает необходимо найти значение аргумента, которому соответствует определенное значение функции. В этом случае интерполируют обратную функцию и следует иметь в виду, что разности функции не постоянны и интерполирование нужно проводить для неравноотстоящих значений аргумента, т. е. использовать формулу (7.8) или (7.9).

Экстраполирование. Экстраполированием называют вычисление значений функции у за пределами интервала значений аргумента х, в котором были проведены измерения. При неизвестном аналитическом выражении искомой функции экстраполирование нужно проводить весьма осторожно, так как не известно поведение функции у(х) за пределами интервала измерений. Экстраполяция допускается, если ход кривой плавный и нет причин ждать резких изменений в исследуемом процессе. Тем не менее экстраполирование должно проводиться в узких пределах, например в пределах шага h. В более далеких точках можно получить неверные значения у. Для экстраполирования применяются те же формулы, что и для интерполирования. Так, первая формула Ньютона используется при экстраполировании назад, а вторая формула Ньютона – при экстраполировании вперед. Формула Лагранжа применяется в обоих случаях. Надо также иметь в виду, что экстраполирование приводит к большим погрешностям, чем интерполирование.

Численное интегрирование.

Формула трапеций. Формулу трапеций обычно применяют в том случае, если значения функции измерены для равноотстоящих значений аргумента, т. е. с постоянным шагом. По правилу трапеций в качестве приближенного значения интеграла

                                                   (7.10)

принимают величину

,                                    (7.11)

Рис. 7.1. Сравнение методов численного интегрирования

т. е. полагают . Геометрическая интерпретация формулы трапеций (см. рис. 7.1) следующая: площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей прямолинейных трапеций. Полная ошибка вычисления интеграла по формуле трапеций оценивается как сумма двух ошибок: ошибки усечения, вызванной заменой криволинейной трапеции прямолинейными, и ошибки округления, вызванной ошибками измерения значений функции. Ошибка усечения для формулы трапеций составляет

, где    .                        (7.12)

Формулы прямоугольников. Формулы прямоугольников, как и формулу трапеций применяют также в случае равноотстоящих значений аргумента. Приближенная интегральная сумма определяется по одной из формул

,                                        (7.13)

.                                          (7.14)

Геометрическая интерпретация формул прямоугольников дана на рис. 7.1. Погрешность формул (7.13) и (7.14) оценивается неравенством

,  где    .                         (7.15)

Формула Симпсона. Приближенно интеграл определяется по формуле

,                (7.16)

где n – четное число. Ошибка формулы Симпсона оценивается неравенством

,        где    .                       (7.17)

Формула Симпсона приводит к точным результатам для случая, когда подынтегральная функция является многочленом второй или третьей степени.

Численное интегрирование дифференциальных уравнений. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка у' = f(х, у) с начальным условием у = у0 при х = х0. Требуется найти приближенно его решение у = у(х) на отрезке [х0, хk].

Рис. 7.2. Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Для этого данный отрезок делится на n равных частей длиной (хk – х0)/n. Поиск приближенных значений у1, у2, … , уn функции у(х) в точках деления х1, х2, … , хn = хk осуществляется различными методами.

Метод ломаных Эйлера. При заданном значении у0 = у(х0) остальные значения уi  у(хi) последовательно вычисляются по формуле

,  (7.18)

где i = 0, 1, …, n – 1.

Графически метод Эйлера представлен на рис. 7.1, где график решения уравнения у = у(х) приближенно представляется ломаной (откуда и происходит название метода). Метод Рунге-Кутта.  Обеспечивает более высокую точность по сравнению с методом Эйлера. Искомые значения уi последовательно вычисляются по формуле

,    (7.19), где,

, , .

ОБЗОР НАУЧНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Обзор литературы – обязательная часть всякого отчета об исследовании. Обзор должен полно и систематизированно излагать состояние вопроса, позволять объективно оценивать научно-технический уровень работы, правильно выбирать пути и средства достижения поставленной цели и оценивать как эффективность этих средств, так и работы в целом. Предметом анализа в обзоре должны быть новые идеи и проблемы, возможные подходы к решению этих проблем, результаты предыдущих исследований, данные экономического характера, возможные пути решения задач. Противоречивые сведения, содержащиеся в различных литературных источниках, должны быть проанализированы и оценены с особой тщательностью.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13