Реферат: Понятие о физической величине. Международная система единиц физических величин СИ

Математическая обработка результатов измерений экспериментатором не ставит задачу раскрыть истинный характер функциональной зависимости между переменными, а лишь дает возможность наиболее простой формулой описать результаты эксперимента, что позволяет использовать интерполирование и применить к наблюдаемым данным методы математического анализа.

Графический метод. Чаще всего для построения графиков используют прямоугольную систему координат. Чтобы облегчить построение, можно использовать миллиметровую бумагу. При этом отсчеты расстояний на графиках следует делать только по делениям на бумаге, а не при помощи линейки, так как длина делений может быть различной по вертикали и горизонтали. Предварительно нужно выбрать разумные масштабы по осям так, чтобы точность измерения соответствовала точности отсчета по графику и график не был растянут или сжат вдоль одной из осей, так как это ведет к увеличению погрешности отсчета.

Далее на график наносят точки, представляющие результаты измерений. Для выделения разных результатов их наносят различными значками: кружками, треугольниками, крестиками и т. п. Так как в большинстве случаев погрешности значений функции больше погрешностей аргумента, то наносят только погрешность функции в виде отрезка длиной, равной удвоенной погрешности в данном масштабе. При этом экспериментальная точка находится в середине этого отрезка, который с обоих концов ограничивается черточками. После этого проводят плавную кривую так, чтобы она проходила возможно ближе ко всем экспериментальным точкам и примерно одинаковое число точек находилось по обеим сторонам кривой. Кривая должна (как правило) лежать в пределах погрешностей измерений. Чем меньше эти погрешности, тем лучше кривая совпадает с экспериментальными точками. Важно отметить, что лучше провести плавную кривую вне пределов погрешности, чем допустить излом кривой вблизи отдельной точки. Если одна или несколько точек лежат далеко от кривой, то это часто свидетельствует о грубой ошибке при вычислении или измерении. Кривые на графиках чаще всего строят с помощью лекал.

Не следует брать очень много точек при построении графика плавной зависимости и только для кривых с максимумами и минимумами необходимо в области экстремума наносить точки более часто.

При построении графиков часто используют прием, называемый способом выравнивания или способом натянутой нити. Он основан на геометрическом подборе прямой "на глаз".

Если этот прием не удается, то во многих случаях преобразование кривой в прямую достигается применением одной из функциональных шкал или сеток. Чаще всего применяются логарифмическая или полулогарифмическая сетки. Этот прием полезен и в тех случаях, когда нужно растянуть или сжать какой-либо участок кривой. Так, логарифмический масштаб удобно использовать для изображения изучаемой величины, изменяющейся на несколько порядков в пределах измерений. Этот метод рекомендуется для нахождения приближенных значений коэффициентов в эмпирических формулах или для измерений с невысокой точностью данных. Прямой линией при использовании логарифмической сетки изображается зависимость типа , а при использовании полулогарифмической сетки – зависимость типа . Коэффициент В0 в некоторых случаях может быть равен нулю. Однако, при использовании линейного масштаба все значения на графике отсчитывают с одинаковой абсолютной точностью, а при использовании логарифмического масштаба – с одинаковой относительной точностью.

Следует также заметить, что часто бывает трудно по имеющемуся ограниченному участку кривой (особенно, если не все точки лежат на кривой) судить о том, какого типа функцию необходимо использовать для приближения. Поэтому переводят экспериментальные точки на ту или иную координатную сетку и уже потом смотрят, на какой из них полученные данные ближе всего совпадают с прямой, и в соответствии с этим выбирают эмпирическую формулу.

Подбор эмпирических формул. Хотя нет общего метода, который давал бы возможность подобрать наилучшую эмпирическую формулу для любых результатов измерений, все же можно найти эмпирическое соотношение, наиболее точно отражающее искомую зависимость. Не следует добиваться полного совпадения между экспериментальными данными и искомой формулой, так как интерполяционный многочлен или другая аппроксимирующая формула будет повторять все погрешности измерений, а коэффициенты не будут иметь физического смысла. Поэтому, если не известна теоретическая зависимость, то выбирают такую формулу, которая лучше совпадает с измеренными значениями и содержит меньше параметров. Для определения подходящей формулы экспериментальные данные изображают графически и сравнивают с различными кривыми, которые строят по известным формулам в том же масштабе. Изменяя параметры в формуле, можно в определенной степени менять вид кривой. В процессе сравнения необходимо учитывать имевшиеся экстремумы, поведение функции при различных значениях аргумента, выпуклость или вогнутость кривой на разных участках. Подобрав формулу, определяют значения параметров так, чтобы различие между кривой и экспериментальными данными было не больше погрешностей измерений.

На практике наиболее часто используются линейная, показательная и степенная зависимости.

7. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ

Интерполирование. Под интерполированием понимают, во-первых, нахождение значений функции для промежуточного значений аргумента, отсутствующих в таблице и, во-вторых, замену функции интерполирующим многочленом, если аналитическое выражение ее неизвестно, а функция должна подвергаться определенным математическим операциям. Наиболее простые способы интерполирования – линейное и графическое. Линейное интерполирование можно применять тогда, когда зависимость у(х) выражается прямой линией или кривой, близкой к прямой, для которой такое интерполирование не приводит к грубым погрешностям. В некоторых случаях можно проводить линейное интерполирование и при сложной зависимости у(х), если оно ведется в пределах настолько малого изменения аргумента, что зависимость между переменными можно считать линейной без заметных погрешностей. При графическом интерполировании неизвестную функцию у(х) заменяют ее приближенным графическим изображением (по экспериментальным точкам или табличным данным), из которого определяют значения у при любых х в пределах измерений. Однако точное графическое построение сложных кривых иногда оказывается очень трудным, например кривой с резкими экстремумами, поэтому графическое интерполирование имеет ограниченное применение.

Таким образом, во многих случаях невозможно применить ни линейного, ни графического интерполирования. В связи с этим были найдены интерполирующие функции, позволяющие вычислить значения у с достаточной точностью для любой функциональной зависимости у(х) при условии, что она является непрерывной. Интерполирующая функция имеет вид

,                                              (7.1)

где B0, B1, … Bn – определяемые коэффициенты. Так как данный многочлен (7.1) изображается кривой параболического типа, то такая интерполяция называется параболической.

Коэффициенты интерполирующего многочлена находят, решая систему из (l + 1) линейных уравнений, получающихся при подстановке в уравнение (7.1) известных значений уi и хi.

Наиболее просто производится интерполирование, когда интервалы между значениями аргумента постоянны, т. е.

,                               (7.2)

где h – постоянная величина, называемая шагом. В общем случае

.                                                   (7.3)

При использовании интерполяционных формул приходится иметь дело с разностями значений у и разностями этих разностей, т. е. разностями функции у(х) различных порядков. Разности любого порядка вычисляются по формуле

.                                               (7.4)

Например,

и .

При вычислении разностей их удобно располагать в виде таблицы (см. Табл. 4), в каждом столбце которой разности записывают между соответствующими значениями уменьшаемого и вычитаемого, т. е. составляется таблица диагонального типа. Обычно разности записывают в единицах последнего знака.

Таблица 4

Разности функции у(х)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13