Реферат: Оцінювання параметрів розподілів

Для оцінки  використовують "виправлене" середнє квадратичне відхилення . Оскільки звичайно результати вимірів взаємно незалежні, мають одне й теж саме математичне сподівання (істинне значення величини, що вимірюється) і однакову дисперсію (у випадку однаково точних вимірів), то теорію, викладену в пункті 3, можна застосувати і для оцінки точності вимірів.

5 Інтервальна оцінка ймовірності біноміального розподілу. У підрозділі 2 у якості приклада 1 було вирішено задачу точкової оцінки ймовірності біноміального розподілу. Як точкову оцінку невідомої ймовірності  було узято відносну частоту  появи події ( – число появ події,  – число випробувань). Було отримано математичне сподівання і дисперсію оцінки.

Тепер буде знайдено довірчий інтервал для оцінки ймовірності за відносною частотою.

Для спрощення припустимо, що кількість іспитів  досить велика, а ймовірність  не є близькою ні до одиниці, ні до нуля (досить, щоб обидві величини  і  були більше чотирьох). Тоді можна вважати, що частота події  є випадковою величиною , розподіл якої є наближеним до нормального закону (у сенсі функції розподілу). Параметрами цього закону будуть  і .

Тому до випадкової величини  можна застосувати відому формулу про ймовірність відхилення нормально розподіленої випадкової величини  зі середньо квадратичним відхиленням  від її математичного сподівання  не більше ніж на

 ,                                    (29)

де  – табульована функція Лапласа.

Зажадавши, щоб умова для ймовірності у формулі (29) виконувалося з надійністю , і, замінивши в ній  на ,  на ,  на , а також увівши позначення  , одержимо

або інакше

.

При практичному застосуванні цієї формули випадкову величину  необхідно замінити невипадковою відносною частотою , що спостерігається, і підставити :

.

Під час розв’язання цієї нерівності щодо невідомої ймовірності  у припущенні  підвищимо до квадрата обидві її частини. При цьому одержимо еквівалентну квадратну нерівність відносно :

.

Її коефіцієнт при старшому члені та дискримінант позитивні, тому її корені  і  дійсні, причому не дорівнюють один одному. Отже ця нерівність має розв’язання:

,

дисперсія крива розподіл сподівання

що і визначає довірчий інтервал, який слід знайти.

Аналогічний розв’язок нерівності отримуємо і у разі .