Реферат: Оцінювання параметрів розподілів

 .                                                  (19)

Тут збережено позначення, які введені в попередньому пункті. Крім того, вжито , що є "виправлене" середнє квадратичне відхилення (1.7).

Можна показати, що випадкова величина  (19) має розподіл Стьюдента (2.8) з  ступенями волі і щільністю розподілу:

,

Де

,

 – Гама-функція Эйлера (2.4).

Очевидно, що розподіл Стьюдента визначається параметром  – обсягом вибірки та не залежить від невідомих параметрів  і , що зумовило його практичну цінність. Оскільки функція  є парною відносно , ймовірність виконання нерівності  можна перетворити таким чином:

.

При заміні нерівності в круглих дужках на еквівалентну йому подвійну нерівність і заміні  на  так само, як у попередньому пункті, остаточно  одержимо:

.

Тобто, використовуючи розподіл Стьюдента, можна знайти довірчий інтервал , що покриває невідомий параметр  із надійністю . Величина  при цьому знаходиться в таблиці розподілу Стьюдента  у залежності від значень параметрів  і .

3 Довірчі інтервали для оцінки середнього квадратичного відхилення  нормального розподілу. Тепер вирішимо задачу інтервальної оцінки з надійністю  невідомого генерального середнього квадратичного відхилення  нормально розподіленої кількісної ознаки  за його "виправленим" вибірковим середньо квадратичним відхиленням s. Це означає, що має виконуватися умова:

чи, що те ж саме,

.                                          (20)

Подвійну нерівність у виразі (20) зручно перетворити до вигляду:

                                            (21)

 ,                                       (22)

де введено позначення

                                                  (23)

і враховано, що відхилення  відносно , тобто  – мала величина в порівнянні з , так що .

Вибіркове середнє квадратичне відхилення  змінюється від вибірки до вибірки, тому його можна розглядати як випадкову величину, що ми дотримуючись традиції позначимо відповідною великою літерою . Помноживши всі члени останньої нерівності (22) на , одержимо нову нерівність

,

що після введення позначення

                                              (24)

прийме остаточний вигляд:

.                                           (25)

Відзначимо, що нерівності (21) і (25) еквівалентні. Тому рівність (20) можна тепер переписати так:

.                    (26)

Пірсон показав, що величина  (24) після її підвищення до квадрату, тобто у вигляді , підкоряється закону розподілу "хі-квадрат" (5), тому і має таке позначення. Можна показати, що щільність розподілу самої випадкової величини  має при цьому наступний вигляд:

 .                                    (27)

Важлива особливість цього розподілу полягає в тому, що воно є інваріантним відносно оцінюваного параметра , і залежить лише від обсягу вибірки .

Відомо, що ймовірність неперервній випадковій величині  знаходитися на інтервалі ( , ) виражається у такий спосіб через щільність її розподілу:

.

Застосувавши цю формулу в нашому конкретному випадку ймовірності перебування випадкової величини  (24) із щільністю у вигляді (27) на інтервалі (25), одержимо:

.                        (28)

Співвідношення (28) можна розглядати як рівняння щодо невідомої величини  (23) при заданих значеннях  і . Це рівняння було розв’язано в загальному вигляді зі складанням таблиць, по яких можна знайти значення . Знаючи величину  і "виправлене" вибіркове середнє квадратичне відхилення s по формулам (21), (23) визначаємо довірчий інтервал для оцінки середнього квадратичного відхилення  нормального розподілу.

4 Оцінки істинного значення величини, що вимірюється, і точності вимірів. Ця задача подає великий практичний інтерес для метрології.

Нехай проведено  незалежних однаково точних вимірів деякої фізичної величини, істинне значення  якої невідомо. До того ж невідомо також і середнє квадратичне відхилення  випадкових похибок вимірювання. Результати окремих вимірів , , ... ,  можна розглядати, як випадкові величини , , ... , , що є незалежні (виміри незалежні), мають те ж саме математичне сподівання  (істинне значення величини, що вимірюється), однакові дисперсії  (виміри однаково точні) і нормально розподілені (таке допущення підтверджується досвідом).

Отже, усі припущення, що було зроблено під час отримання довірчих інтервалів у пунктах 1 і 2, виконуються. Тому можна безпосередньо використати отримані в них формули. Іншими словами, істинне значення величини, що вимірюється, можна оцінювати по середньому арифметичному результатів окремих вимірів за допомогою довірчих інтервалів.

Середнє квадратичне відхилення  випадкових похибок вимірів у теорії помилок характеризує точність вимірів (точність приладу).

Страницы: 1, 2, 3, 4