Реферат: Оцінка точності при параметричному методі врівноваження
де tj – невеликі
по абсолютній величині поправки до наближених значень параметрів.
Розкладемо
функцію fi(y’1, y’2, ..., y’k) в ряд Тейлора і, обмежуючись лише лінійними
членами, отримаємо:
Приймемо, що
Тоді
Отже,
Приймемо, що
тобто li – це
різниця між елементами, обчисленими по наближених параметрах і їх виміряними
значеннями. Тоді отримаємо систему параметричних рівнянь поправок в лінійному
вигляді
Число цих
рівнянь дорівнює числу n виміряних величин, а число невідомих параметрів – k,
причому k<n. Така система рівнянь є невизначеною. Вона має безліч рішень.
Для здобуття однозначного рішення необхідно введення додаткових умов, при яких
виробляється зрівнювання.
Зрівнювання
параметричним способом полягає у відшуканні поправок t1, t2, ..., tк наближених
значень шуканих параметрів у1, у2, ..., уk, їх зрівняних значень у’1 у’2 ., у’k
і х’1, х’2 ., х’n, а також в оцінці точності результатів врівноваження.
Коррелатний
спосіб зрівнювання полягає у вирішенні системи r незалежних умовних рівнянь, що
виникають при вимірі r надлишкових елементів в геодезичній побудові.
Умовне рівняння
має вигляд:
 (1)
де wj – нев'язки
в умовних рівняннях.
Для приведення
умовних рівнянь до лінійного вигляду приймемо, що:
де xi і vi –
виміряне значення i-того елементу геодезичної побудови і поправка до нього.
Поправки vi
усувають нев'язку wj (умова зрівнювання). Тоді:
Поправки vi малі
по абсолютній величині порівняно із значеннями елементів, тому розкладемо
функцію f(x’i) в ряд Тейлора і обмежуючись лише членами першого порядку
отримаємо:
Приймемо, що
Тоді
Підставивши
отримане рівняння у формулу 1 отримаємо систему умовних рівнянь поправок в
лінійному вигляді:
Дана система r
рівнянь з n невідомими є невизначена, оскільки r<n. Тобто система умовних
рівнянь поправок має безліч рішень і для її вирішення необхідно ввести
додаткові умови.
Параметричний
спосіб зрівнювання і спосіб умов є еквівалентними за однакових додаткових умов,
тобто приводять до однакових значень зрівняних елементів геодезичної побудови.
Суть і
послідовність врівноваження параметричним способом
При побудові
геодезичних мереж на місцевості закріплюються пункти, координати і висоти яких
є шуканими величинами. Як правило, при зрівнюванні геодезичних мереж
параметричним способом шукані параметри приймаються:
1) координати X
і Y пунктів при зрівнюванні планових мереж;
2) висоти Н
пунктів при врівноваженні висотних мереж.
Елементами
геодезичних мереж є вимірювані на місцевості горизонтальні кути, довжини ліній,
перевищення між точками, введемо наступні позначення (k<n):
1)
Yj (j = 1, k) – дійсні значення шуканих
параметрів або необхідних невідомих;
2)
y* j (j = 1, k) – зрівняні значення
параметрів;
3)
yj (j = 1, k) – наближені значення
параметрів;
4)
tj (j = 1, k) – поправки в наближені
значення параметрів;
5)
Xi (i = 1, n) – дійсні значення
елементів мережі;
6)
x*i (i = 1, n) – зрівняні значення
елементів;
7)
vi (i = 1, n) – поправки у виміряні
значення елементів мережі;
8)
aij (i = 1, n; j = 1, k) – коефіцієнти
параметричних рівнянь поправок;
9)
li (i = 1, n) – вільні члени
параметричних рівнянь поправок;
10) Pi (i = 1,
n) – ваги результатів вимірів.
При врівноваженні
параметричним способом складається система параметричних рівнянь поправок
де  -
матриця коефіцієнтів параметричних рівнянь поправок розміром k*n;
 -
вектор поправок до вектора наближених значень параметрів yj;
 -
вектор вільних членів системи параметричних рівнянь поправок l= f(y1, y2 ., yk)
– xi;
 -
вектор поправок до вектора виміряних елементів мережі xi.
Вирішення
системи параметричних рівнянь поправок полягає у відшуканні вектора поправок Т
до наближених значень параметрів
yj (j = 1, k) за
умови  
де  -
вагова матриця або матриця вагів результатів вимірів розміром n*n.
Для відшукання
min функції необхідно прирівняти до нуля її першу похідну і вирішити отримані
рівняння. У нашому випадку:
З системи
параметричних рівнянь поправок виходить, що
Покажемо, що
умова
Рівносильно
умові
Отже:
Помножимо
рівняння AT + L = V зліва на  і
отримаємо:
або враховуючи
умову 
Отримана система
k рівнянь з k невідомими параметрами tj називається системою нормальних
рівнянь. Матриця коефіцієнтів системи нормальних рівнянь має вигляд:
Отримана
матриця:
1)
квадратна матриця порядку k;
2)
симетрична матриця;
3)
позитивно визначена рангу k;
4)
неособлива.
В результаті
вирішення системи нормальних рівнянь отримуємо поправки tj до наближених
значень параметрів yj, а потім по формулі
y*j = yj + tj
зрівняні значення параметрів. Поправки vi до виміряних значень елементів мережі
xi обчислюються за формулою:
Потім
обчислюються зрівняні значення елементів мережі:
Контроль
вирішення системи нормальних рівнянь обчислення поправок vi і зрівняних значень
x*i і y*j виробляється по формулі:
тобто по
зрівняних значеннях параметрів ще раз обчислюють зрівняні значення елементів
мережі.
Недотримання
цієї контрольної рівності може відбуватися із-за помилок в обчисленнях або унаслідок
недостатньої точності наближених значень параметрів yj. У першому випадку
необхідно відшукати і виправити помилки в обчисленнях. У другому випадку
зрівняних значень y*j слід набути як наближені значення і з ними повторити весь
процес зрівнювання.
Ознакою
недостатньої точності наближених значень параметрів є недопустимо великі
значення поправок tj. У цих випадках не можна нехтувати нелінійними членами
розкладання функції в ряд Тейлора при обчисленні коефіцієнтів параметричних
рівнянь поправок.
Оцінка точності
при параметричному методі врівноваження.
Визначення
середньої квадратичної погрішності одиниці ваги. Визначається по формулі:
де n – число виміряних величин;
k – число необхідних вимірів.
Середня
квадратична похибкам визначення m обчислюється за формулою:
Величина
[pvv] або  може
бути знайдена різними шляхами:
1)
по алгоритму Гауса – при вирішенні
системи нормальних рівнянь до основної системи NT + L = 0 додається ще одне
рівняння
2)
Знов отримана система k+1 рівнянь з k+1
невідомими зберігає всі властивості нормальних рівнянь, причому останній
діагональний елемент  Тому
після виключення всіх невідомих ti отримаємо:
2)
по обчислених поправках v – обчисливши поправки V = AT + L, де А – матриця
коефіцієнтів рівнянь поправок. Обчислимо величину [pvv] за формулою:
3)
по значеннях вільних членів l в рівняннях поправок і поправках v – знаючи
поправки v в результати вимірів і вільні члени l рівнянь поправок знайдемо
[pvv] по формулі:
Страницы: 1, 2, 3 |
