Реферат: Линейные системы уравнений
 .
К высказанному необходимо
сделать еще ряд замечаний, связанных со случаями, когда исходная матрица имеет
кратные собственные значения или оказывается вырожденной.
Характеристическое
уравнение матрицы A с кратным корнем  можно
записать в виде
 .
На основании этой записи
можно составить минимальное характеристическое уравнение  , для которого матрица A
также является корнем:
 .
Особенности в части
определения собственных значений и векторов обычно возникают в несимметричных
матрицах ( ). Некоторые из них
никакими подобными преобразованиями не удается свести к диагональной. Например,
не поддаются диагонализации матрицы n-го порядка, которые не имеют n линейно
независимых собственных векторов. Однако любая матрица A
размера  с помощью преобразования
подобия может быть приведена к прямой сумме жордановых блоков или к канонической
жордановой форме:
 ,
где A –
произвольная матрица размера  ;
 – жорданов блок размера  ;
V – некоторая невырожденная
матрица размера  .
Характеристическое
уравнение жорданова блока размера  независимо
от количества единиц в верхней диагонали записывается в виде произведения  одинаковых сомножителей и,
следовательно, имеет только  кратных
корней:
 .
Если выразить матрицу V в
форме вектора с компонентами в виде векторов-столбцов  , то из равенства AV=VJ для
каждого жорданового блока следует соотношение
 .
Здесь  в зависимости от структуры
верхней диагонали, в которой может быть либо ноль, либо единица. Если жордановы
блоки имеют размер  , то мы имеем
случай симметричной матрицы или матрицы с различными собственными значениями.
При поиске решений систем
линейных уравнений с несимметричными матрицами, последние стремятся теми или
иными приемами свести к выражению с симметричными матрицами.
Один из возможных
подходов к решению несимметричных линейных систем состоит в замене исходной
системы эквивалентной системой:
 .
Недостаток этого подхода
состоит в том, что мера обусловленности произведения матрицы A на
свою транспонированную, оцениваемая отношением  ,
оказывается больше, чем у матрицы A.
Под мерой обусловленности
понимают отношение наибольшего собственного значения матрицы к наименьшему. Это
отношение влияет на скорость сходимости итерационных процедур при решении
уравнений.
Итак, основными
алгебраическими системами уравнений можно считать неоднородные системы
уравнений с симметричными матрицами коэффициентов.
Литература
1. Вержбицкий В.М. Основы
численных методов: Учебник для вузов – 3-е изд. М: Высшая школа, 2009. – 840 с.
2. Самарcкий А.А. Задачи
и упражнения по численным методам. Изд. 3 Изд-во: КомКнига, ЛКИ, 2006. – 208 с.
3. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы
численных методов. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. – 304 с.
4. Хеннер Е.К., Лапчик М.П.,
Рагулина М.И. Численные методы. Изд-во: «Академия/Academia», 2004. –
384c.
5. Чистяков С.В. Численные
и качественные методы прикладной математики. СПб: 2004. – 268 с.
|
