Реферат: Линейные системы уравнений

 – евклидова норма вектора, его длина.

В качестве нормы в литературе иногда используют квадрат длины вектора или другое выражение с компонентами вектора, лишь бы оно обладало свойствами расстояния: было положительным, линейным и удовлетворяло неравенству треугольника.

Деление вектора на величину его нормы называют нормированием, т.е. приведением вектора к единичной длине.

Норма матрицы в принципе тоже может быть определена в виде корня квадратного из суммы квадратов ее элементов или другими выражениями со свойствами расстояний. Однако в ряде случаев работы с векторно-матричными выражениями нормы векторов и матриц должны быть согласованными ввиду того, что результатом произведения матрицы на вектор является опять же вектор. Если выражение для нормы вектора принято, то

,

где функция sup говорит о том, что из всех отношений норм, стоящих в числителе и знаменателе, взятых при любом векторе x, кроме нулевого, выбирается наименьшее, т.е. это функция выбора нижней границы значений. Согласованная матричная норма для евклидовой нормы вектора удовлетворяет неравенству

.

Нормы вектора и матрицы служат, в основном, для сопоставительной оценки матриц и векторов, указывая на возможный диапазон представления строгих числовых характеристик. К числу последних, в первую очередь, нужно отнести определители матриц, собственные значения и собственные векторы матриц и ряд других.

4. Матрицы и определители

Упорядоченный набор коэффициентов из системы линейных алгебраических уравнений используется для получения числовой характеристики, величина которой инвариантна по отношению к эквивалентным преобразованиям системы. Речь идет об определителе матрицы. Важное свойство определителей матрицы обнаруживается в связи с вычислением произведения матриц:

Учитывая это свойство и зная, что определитель единичной матрицы det(E)=1, можно найти матрицу B и ее определитель из уравнения:

откуда следует, что  и .

Из свойств определителей нелишне помнить и такие:

где     – транспонированная матрица A,

n – размер квадратной матрицы A,

 – матрица перестановки строк или столбцов,

s, c=0,1,…, n – число выполненных перестановок строк и / или столбцов.

Если обратная матрица исходной системы уравнений определена, то, используя эквивалентные преобразования их векторно-матричной записи, решение уравнений можно представить в следующем виде:

Умножив вектор правых частей на обратную матрицу, получим вектор решения.

Классический способ вычисления обратной матрицы использует определители и осуществляется по формуле:

,

где     – алгебраическое дополнение, а  – минор матрицы A, получаемый вычислением определителя матрицы A, в которой вычеркнуты j-тая строка и i-тый столбец.

Такой способ вычисления определителя представляет в основном теоретический интерес, так как требует выполнения неоправданно большого числа операций.

Очень просто вычисляется определитель, если матрица диагональная или треугольная. В этом случае определитель равен произведению диагональных элементов. Кстати и решения уравнений, имеющих такие матрицы коэффициентов, получаются тривиально. Поэтому основные усилия разработчиков методов решения алгебраических уравнений направлены на поиск и обоснование эквивалентных преобразований матрицы с сохранением всех ее числовых характеристик, но имеющих в конце преобразований диагональную или треугольную форму.

5. Собственные значения и собственные векторы

Рассмотрим теоретические основы и методы, позволяющие выполнять эквивалентные матричные преобразования.

Найдем вектор, который под воздействием матрицы A изменяет только свою величину, но не направление. Для системы уравнений это означает, что вектор решения должен быть пропорционален с некоторым коэффициентом вектору правой части:

В результате несложных преобразований получены однородные векторно-матричные уравнения в столбцовой и в строчной формах с некоторым числовым параметром  и неизвестным вектором-столбцом x и вектором-строкой , представляющих собственное состояние системы. Однородная система может иметь отличное от нуля решение лишь в том случае, когда определитель ее равен нулю. Это следует из формул получения решения методом определителей (Крамера), в которых и определитель знаменателя, и определитель числителя оказываются равными нулю.

Полагая, что решение все же существует, т.е.  и , удовлетворить уравнению можно только за счет приравнивания нулю определителя однородной системы:

Раскрыв определитель и сгруппировав слагаемые при одинаковых степенях неизвестного параметра, получим алгебраическое уравнение степени n относительно :

Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы и имеет в общем случае n корней, возможно комплексных, которые называются собственными значениями матрицы и в совокупности составляют спектр матрицы. Относительно n корней различают два случая: все корни различные или некоторые корни кратные.

Важным свойством характеристического уравнения матрицы A является то, что согласно теореме Гамильтона-Кели, матрица A удовлетворяет ему:

где     – k-тая степень матрицы.

Подставляя каждое  в однородную систему, получим векторно-матричные уравнения для нахождения векторов  или векторов-строк . Эти векторы называются соответственно правыми собственными векторами и левыми собственными векторами матрицы.

Решение однородных уравнений имеет некоторую специфику. Если  (как в равной мере и ) является решением, то, будучи умноженным на произвольную константу, оно тоже будет являться решением. Поэтому в качестве собственных векторов берут такие векторы, которые имеют норму, равную единице, и тогда:

Если все собственные числа различны, то собственные векторы матрицы A образуют систему n линейно независимых векторов таких, что

6. Ортогональные матрицы из собственных векторов

Из правых собственных векторов можно составить матрицу T, а из левых – матрицу , которые обладают уникальными свойствами по отношению к матрице A.

Умножив матрицу A слева на матрицу , а справа – на матрицу T, после несложных преобразований получим:

.

Каждое скалярное произведение  в матрице, принимая во внимание линейную независимость собственных векторов, полученных для различных собственных значений, можно преобразовать так:

Поэтому, результатом преобразования матрицы A будет диагональная матрица с собственными значениями, расположенными на диагонали:

Если вместо A взять единичную матрицу и проделать аналогичные преобразования, то станет очевидным равенство , откуда следует . Последнее позволяет для преобразования матрицы A в диагональную обходиться только системой правых собственных векторов-столбцов:

Страницы: 1, 2, 3, 4