Курсовая работа: Критерій відношення правдоподібності для великих вибірок

де  і називається дисперсією випадкової величини .

Нехай щільність розподілу випадкової величини ( або ймовірність – у дискретному випадку), вибірка з розподілу ( тобто всі  мають розподіл  і є незалежними випадковими величинами), реалізація вибірки. Функція  є щільністю розподілу випадкового вектора . Якщо розглядається при фіксованому значенні , то така функція параметра  називається функцією правдоподібності. Оцінкою максимальної правдоподібності невідомого параметра  називається таке значення , при якому  для заданого .

Статистичною гіпотезою( або просто гіпотезою) називають будь-яке твердження щодо виду чи властивостей розподілу спостережуваної випадкової величини. Статистичні гіпотези надалі позначатимемо так: . Статистичною параметричною гіпотезою називається припущення про значення невідомого параметра  розподілу  Наведемо приклади параметричних гіпотез:

1) 

2) 

3)   де взагалі кажучи, деяка векторна функція , стала.

В загальному випадку параметрична гіпотеза задається деякою підмножиною , до якої, за припущенням, належить невідомий параметр . Тоді параметрична гіпотеза записується так: . Альтернативна гіпотеза має вигляд: ; точки називаються альтернативами. Якщо множина  містить лише одну точку, то гіпотезу( альтернативу ) називають простою; у протилежному випадку гіпотезу( альтернативу) називають складною.

Правило, згідно якого висунута гіпотеза  приймається або відкидається, називається статистичним критерієм( або просто критерієм) перевірки гіпотези .

Нехай вибірка з розподілу  і висунута параметрична гіпотеза ( може бути як скаляром, так і вектором і надалі будемо вважати його вектором, якщо не обумовлено протилежне). Потрібно визначити чи узгоджується запропонована гіпотеза із результатами проведеного експерименту. У такому випадку поступають наступним чином: будують таке правило( критерій), яке дозволяє на основі отриманих реалізацій вибірки  зробити висновок: прийняти гіпотезу  чи відхилити її( прийняти альтернативу ). Отже, критерій розбиває вибірковий простір  на дві множини  такі, що , де  складається із тих точок, для яких гіпотеза  приймається, а множина із точок, для яких  відхиляється. Множина  називається областю прийняття гіпотези, а множина  називається областю відхилення гіпотези, або критичною областю.

У процесі перевірки гіпотези  можна прийти до правильного висновку або допустити помилку першого роду – відхилити , коли гіпотеза вірна, чи помилку другого роду – прийняти , коли вона хибна.

Ймовірності цих двох помилок можна виразити через функцію потужності  критерію : . А саме: ймовірність похибки першого роду рівна , а ймовірність похибки другого роду рівна .

Число  називають рівнем значущості критерію, якщо .

Нехай , тоді квантилем  розподілу  називається корінь рівняння . Якщо функція  строго монотонна, то це рівняння має єдиний корінь; у протилежному випадку це рівняння має декілька коренів, і тоді квантилем називають мінімальний серед коренів рівняння.

2. Критерій відношення правдоподібності для великих вибірок

Одним із найбільш універсальних методів побудови критеріїв перевірки складних гіпотез є метод відношення правдоподібності, суть якого полягає у наступному. Для перевірки гіпотези  проти альтернативи  вводиться статистика відношення правдоподібності

де , функція правдоподібності. Разом із статистикою  вводиться статистика

Будемо вважати, що виконуються умови регулярності, що забезпечують існування, єдність і асимптотичну нормальність оцінки максимальної правдоподібності  параметра . Розглянемо випадок простої гіпотези.

Теорема. Нехай потрібно перевірити просту гіпотезу фіксована внутрішня точка множини . Тоді для великих вибірок( ) при виконанні вказаних умов регулярності критерію відношення правдоподібності задається асимптотично критичною множиною

(1)

тобто при

де рівень значущості критерію.

Доведення. Покажемо, що з умов теореми слідує:

(2)

звідки випливає рівність (1). Якщо справедлива гіпотеза , то в силу спроможності оцінки максимальної правдоподібності при великих  точка близька до , тому для  можна записати розклад Тейлора відносно точки :

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7