Курсовая работа: Использование современной компьютерной техники и программного обеспечения для решения прикладных задач в области геодезических измерений
Фи 1 = -0.54; Делта 1 = -1.81;
Фи 2 = -0.59; Делта 2 = 4.02;
Фи 3 = 1.33; Делта 3 = -0.54;
Фи 4 = 4.11; Делта 4 = -0.59 .
Координата X искомого пункта 1: 10217.52;
Координата X искомого пункта 2: 10217.50;
Среднее значение X: 10217.51;
Координата Y искомого пункта 1: 10353.71;
Координата Y искомого пункта 2: 10353.76;
Среднее значение Y: 10353.73 .
3.8 Табличные вычисления MS Excel
Рис.3.4 Проверка в MS Excel.
Рис. 3.5 Проверка в MS Excel в режиме отображения формул.
3.9
Вычисления в MathCad
Рис.
3.6 Проверка в MathCad 14.
3.10 Анализ
Задачу №3 (обратная геодезическая засечка) была решена
с помощью языка программирования Turbo Pascal и проверена
с помощью табличного процессора Microsoft Excel 2007 и MathCad. Результаты
решений совпали, что говорит о правильности выбранного алгоритма решения
задачи.
4. Решение СЛАУ методом Гаусса
4.1 Теоретические сведения
Рассмотрим один из наиболее известных и широко
применяемых прямых методов решения систем линейных уравнений. Обычно этот метод
называют методом исключения или методом Гаусса.
Чтобы проиллюстрировать этот метод, рассмотрим сначала
систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
(4.1)
В такой системе по крайней мере один из коэффициентов ,,должен быть отличен от
нуля, иначе бы мы имели бы дело в этих трех уравнениях только с двумя
неизвестными. Если , то можно переставить уравнения
так, чтобы коэффициент при в первом уравнении был отличен от
нуля. Очевидно, что перестановка уравнений оставляет систему неизменной: ее
решение остается прежним.
Теперь введем множитель .
Умножим первое уравнение системы (4.1) на и вычтем его
из второго уравнения системы. («Первое» и «второе» уравнения берем уже после
перестановки, если она была необходима). Результат вычитания равен:
Так как
,
фактически исключается из второго
уравнения (именно для достижения такого результата и было выбрано значение ).
Определим теперь новые коэффициенты
.
Тогда второе уравнение системы приобретает вид
(4.2)
Заменим второе из первоначальных уравнений уравнением (4.2)
и введем множитель для третьего уравнения
.
Умножим первое уравнение на этот множитель и вычтем
его из третьего. Коэффициент при снова становится нулевым, и
третье уравнение приобретает вид
(4.3)
где
.
Если теперь в исходной системе уравнений (4.1)
заменить третье уравнение на (4.3), то новая система выглядит так:
(4.4)
Эти новые уравнения полностью эквивалентны исходным
уравнениям с тем преимуществом, что входит только в первое уравнение и
не входит ни во второе, ни в третье. Таким образом, два последних уравнения
представляют собой систему из двух уравнений с двумя неизвестными; если теперь
найти решение этой системы, т.е. определить и , то результат можно подставить в
первое уравнение и найти . Иначе говоря, задача сведена к
решению системы из двух уравнений с двумя неизвестными.
Попытаемся теперь исключить из двух последних уравнений. Если, то снова мы
переставим уравнения так, чтобы было отлично от нуля (если и , то система
вырождена и либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесчисленное множество
решений).
Введем новый множитель
.
Умножим второе уравнение полученной системы (4.4) на и вычтем его
из третьего. Результат вычитания равен
В силу выбора
.
Полагая, что
окончательно получим
(4.5)
Третье уравнение полученной системы (4.4) можно
заменить уравнением (4.5), после чего система уравнений приобретает следующий
вид:
(4.6)
Такая система уравнений (4.6) иногда называется треугольной
из-за своего внешнего вида.
Для решения необходимо определить из третьего уравнения
системы (4.6), подставить этот результат во второе уравнение и определить. Полученные
значения и подставить в
первое уравнение и определить. Этот процесс, который обычно
называется обратной подстановкой (обратный ход), определяется формулами:
(4.7)
.
Необходимо отметить, если , то система уравнений вырождена.
Теперь можно обобщить этот метод на случай системы из n – уравнений с n-неизвестными. Ниже записана система
уравнений, приведенная к треугольному виду (4.8).
(4.8)
Формулы для вычисления неизвестных (обратный ход)
будут иметь вид:
(4.9)
4.2
Постановка задачи
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |