Дипломная работа: Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка

Текст подпрограммы, реализующий предложенный алгоритм анализа структуры КЭ-разбиения тела, приведен в Приложении 1.

Данный способ компактного хранения матрицы жесткости позволяет легко его использовать совместно с каким-нибудь численным методом. Наиболее удобным для этой цели представляется использование вышеизложенного итерационного метода Ланцоша, так как на каждой итерации требуется только перемножать матрицу коэффициентов СЛАУ и заданный вектор. Следовательно, для использования предложенного метода компактного хранения СЛАУ необходимо построить прямое и обратное преобразование в первоначальную квадратную матрицу.

Пусть – элемент первоначальной квадратной матрицы размерностью , а  - ее компактное представление. Тогда для обратного преобразования будут справедливы следующие соотношения:

,                                                                       (*)

где m – количество степеней свободы (m=1,2,3).

Для прямого преобразования будут справедливы соотношения, обратные к соотношениям (*).

 3 ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Для проверки предлагаемого метода компактного хранения матрицы жесткости была решена задача о контактном взаимодействии оболочечной конструкции и ложемента [12] (рис. 4).

Данная задача решалась методом конечных элементов при помощи системы FORL [5]. Дискретная модель ложемента (в трехмерной постановке) представлена на Рис. 5.

При построении данной КЭ-модели было использовано 880 узлов и 2016 КЭ в форме тетраэдра. Полный размер матрицы жесткости для такой задачи составляет  байт, что приблизительно равно 2,7 Мбайт оперативной памяти. Размер упакованного представления составил около 315 Кбайт.

Данная задача решалась на ЭВМ с процессором Pentium 166  и 32 МБ ОЗУ двумя способами – методом Гаусса и методом Ланцоша. Сопоставление результатов решения приведено в Таблице 1.

   Таблица 1.

Из Таблицы 1 легко видеть, что результаты решения СЛАУ методом Гаусса и методом Ланцоша хорошо согласуются между собой, при этом время решения вторым способом почти в два раза меньше, чем в случае использования метода Гаусса.

ВЫВОДЫ.

В данной работе были рассмотрены способы компактного хранения матрицы коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и методы ее решения. Разработан алгоритм компактного хранения матрицы жесткости, позволяющий в несколько раз (иногда более чем в десятки раз) сократить объем требуемой памяти для хранения такой матрицы жесткости.

Классические методы хранения, учитывающие симметричную и ленточную структуру матриц жесткости, возникающих при применении метода конечных элементов (МКЭ), как правило, не применимы при решении контактных задач, так как при их решении матрицы жесткости нескольких тел объединяются в одну общую матрицу, ширина ленты которой может стремиться к порядку системы.

Предложенная в работе методика компактного хранения матриц коэффициентов СЛАУ и использования метода Ланцоша позволили на примере решения контактных задач добиться существенной экономии процессорного времени и затрат оперативной памяти.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Исходный текст программы, реализующий анализ структуры КЭ-разбиения объекта.

#include <math.h>

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#include <stdlib.h>

#include <fstream.h>

#include "matrix.h"

#define BASE3D_4  4

#define BASE3D_8  8

#define BASE3D_10 10

const double Eps = 1.0E-10;

DWORD CurrentType = BASE3D_10;

void PrintHeader(void)

{

  printf("Command format: AConvert -<switch> <file1.in> <file2.in> <file3.out> [/Options]\n");

  printf("Switch: -t10 - Tetraedr(10)\n");

  printf("        -c8  - Cube(8)\n");

  printf("        -s4  - Shell(4)\n");

  printf("        -s8  - Shell(8)\n\n");

  printf("Optins: /8 - convert Tetraedr(10)->8*Tetraedr(4)\n");

  printf("        /6 - convert Cube(8)->6*Tetraedr(4)\n");

}

bool Output(char* fname,Vector<double>& x,Vector<double>& y,Vector<double>& z, Matrix<DWORD>& tr, DWORD n,

            DWORD NumNewPoints,DWORD ntr,Matrix<DWORD>& Bounds,DWORD CountBn)

{

  char*    Label = "NTRout";

  int      type = CurrentType,

           type1 = (type==BASE3D_4 || type==BASE3D_10) ? 3 : 4;

  DWORD    NewSize,

           i,

           j;

  ofstream Out;

  if (type==BASE3D_4) type1 = 3;

  else if (type==BASE3D_8) type1 = 4;

  else if (type==BASE3D_10) type1 = 6;

  Out.open(fname,ios::out | ios:: binary);

  if (Out.bad()) return true;

  Out.write((const char*)Label,6 * sizeof(char));

  if (Out.fail()) return true;

  Out.write((const char*)&type,sizeof(int));

  if (Out.fail()) return true;

  Out.write((const char*)&CountBn,sizeof(DWORD));

  if (Out.fail())

   {

     Out.close();

     return true;

   }

  Out.write((const char*)&(NewSize = n + NumNewPoints),sizeof(DWORD));

  if (Out.fail()) return true;

  Out.write((const char*)&(NumNewPoints),sizeof(DWORD));

  if (Out.fail())

   {

     Out.close();

     return true;

   }

  for (DWORD i = 0; i < n; i++)

   {

     Out.write((const char*)&x[i],sizeof(double));

     Out.write((const char*)&y[i],sizeof(double));

     Out.write((const char*)&z[i],sizeof(double));

     if (Out.fail())

      {

        Out.close();

        return true;

      }

    }

  for (i = 0; i < NumNewPoints; i++)

    {

      Out.write((const char*)&x[n + i],sizeof(double));

      Out.write((const char*)&y[n + i],sizeof(double));

      if (Out.fail())

        {

          Out.close();

          return true;

        }

    }

  Out.write((const char*)&(ntr),sizeof(DWORD));

  if (Out.fail())

   {

     Out.close();

     return true;

   }

  for (i = 0; i < ntr; i++)

   for (j = 0; j < (DWORD)type; j++)

    {

      DWORD out = tr[i][j];

      Out.write((const char*)&out,sizeof(DWORD));

      if (Out.fail())

        {

          Out.close();

          return true;

        }

    }

  for (i = 0; i < CountBn; i++)

   for (j = 0; j < (DWORD)type1; j++)

    {

      DWORD out = Bounds[i][j];

      Out.write((const char*)&out,sizeof(DWORD));

      if (Out.fail())

        {

          Out.close();

          return true;

        }

    }

{

  //*********************

  // Create Links

  printf("Create links...\r");

  Vector<DWORD> Link(n),

                Size(n);

  Matrix<DWORD> Links(n,n);

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7