Учебное пособие: Физика: механика и термодинамика

Знак минус означает, что угловое смещение j и возвращающая сила   имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника из положения равновесия sinj »j, поэтому сила Ft» -mgj  и она ведет себя подобно упругим силам.

      Поскольку маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О, то оно может быть описано основным законом динамики вращательного движения

 ,                                           (8)

где М – момент силы Ft относительно оси  О,  J – момент инерции маятника относительно оси О, - угловое ускорение маятника.

Момент силы в данном случае равен

M = Ft×l = -mgj×l ,                                                                  (9)

где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

  С учетом (9)  уравнение (8) можно записать в виде

                                                                 (10)

или

  ,                                                                 (11)

где

   Решением дифференциального уравнения (11) является функция

j =j0×cos(w0t+a)  ,                                                               (12)

позволяющая определить положение маятника в любой момент времени t. Из выражения (12) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания  с амплитудой колебаний j0, циклической частотой , начальной фазой a  и периодом

                   T=2p/w0= 2p{J0+ml2)/mgl}1/2,                          (13)

      Анализ формулы (13) позволяет сформулировать следующие закономерности колебаний физического маятника:

При малой амплитуде  и в отсутствие сторонних сил 

1. период колебаний физического маятника зависит от момента инерции маятника относительно оси вращения (качания);

2. период колебаний физического маятника при малых смещениях не зависит от амплитуды колебаний;

3. период колебаний физического маятника сложным образом зависит от положения центра масс маятника относительно точки подвеса[1].

2.2.  Экспериментальная часть

    Применяемые в данной работе физические маятники представляют собой:

1) однородный стержень, достаточно длинный, чтобы момент инерции относительно центра его массы можно было рассчитывать по формуле J0 = ml2/12;

2) плоские тела правильной геометрической формы,  момент инерции которых может быть рассчитан исходя из их геометрии и массы.

  Стержни закрепляются в специальной оправе с призматическим основанием, и после установки на платформу превращаются в маятники.    

  Плоские тела имеют отверстия для подвешивания на ось вращения.

  Период колебаний маятника измеряют с помощью секундомера.   

Задание 1. Изучение зависимости  периода колебаний физического маятника от его

                   момента инерции  и расстояния между осью качаний и центром тяжести      

                   маятника

1. Закрепите оправу на конце стержня и установите его на вилку. Измерьте расстояние l1 от оси качаний до центра тяжести стержня.

2. Отклоните стержень на 5 -6°  и измерьте время 5-10 полных колебаний. Определите период колебаний.

3. Переместите оправу ближе к центру тяжести стержня. Измерьте расстояние l2. Снова измерьте период колебаний стержня.

4. Тем же образом необходимо провести 5-6 опытов, постепенно перемещая опорную призму к середине стержня. Все результаты измерений  занесите в таблицу 2.1. отчета.

4. По результатам опыта вычислите величины l2 и (T2l).

5. Следует построить два графика. Первый график зависимости T=f(l) отображает сложную зависимость периода колебаний физического маятника от его момента инерции и расстояния до оси качания. Второй график – линеаризация той же зависимости. Если точки на втором графике  ложатся на прямую с небольшим разбросом, что объясняется погрешностями измерений, то можно сделать вывод о правильности формулы (13) для периода колебаний физического маятника.

Задание 2. Определение моментов инерции тел  различной формы методом

                   колебаний.

1. Из набора тел к работе возьмите  (по указанию преподавателя) одно и измерьте период его колебаний относительно произвольной оси.

2. С помощью формулы (16) вычислите момент инерции тела относительно оси качаний.

3. Произведите  необходимые геометрические измерения и, зная массу тела, вычислите момент инерции тела относительно центра масс. С помощью теоремы Гюйгенса – Штейнера рассчитайте момент инерции тела относительно оси, проходящей через ось качаний.

 4. Величину моментов инерции, полученных при измерении, сравните с рассчитанными теоретически. Для корректного заключения следует оценить  погрешности измеренного и вычисленного моментов инерции. Относительная погрешность измеренного момента инерции находится по формуле:

                                              (14)

   Относительная погрешность вычисленного момента инерции определяется из расчетной формулы для  заданного вам тела и погрешностей,  входящих в нее величин.

Контрольное задание. Определение ускорения свободного падения и длины стержня

  С помощью полученного графика зависимости (T2l) = f(l2),  можно определить ускорение свободного падения и длину стержня, используемого в опыте. Для этого следует определить угловой коэффициент наклона прямой и величину отрезка, отсекаемого прямой от оси OY: 

                                               (15)

  При вычислении длины стержня используйте экспериментально полученное значение ускорения свободного падения.

  В выводе сравните полученные величины g и d  с их действительными значениями.

Часть III. Крутильный маятник

3.1. Теоретическая часть

   Крутильный маятник представляет собой стержень, шнур или проволоку,  один, (как правило – верхний) конец которой закреплен. К нижнему концу  подвешивается тело произвольной формы. Если повернуть на некоторый угол груз с  проволокой вокруг ее длинной (вертикальной) оси, и отпустить, то в системе возникнут крутильные колебания. Дифференциальное уравнение малых крутильных колебаний в отсутствие трения имеет привычный вид

                                                          (16)

  По аналогии с пружинным маятником, для которого  (k – коэффициент упругости, m – масса, как мера инертности), для крутильного маятника может быть записано , где f – коэффициент упругости кручения подвеса,  J – момент инерции груза.

  Таким образом, если масса проволоки ничтожна в сравнении с грузом, то период гармонических колебаний крутильного маятника зависит от момента инерции подвешенного тела и от упругих свойств материала подвеса:

                                                              (17)

   Между коэффициентом f упругости кручения образца и модулем сдвига G материала этого образца существует  следующее соотношение

            ,                                                           (18)

где d – диаметр цилиндрической проволоки, L – ее длина. 

3.1. Экспериментальная часть

В данной работе крутильный маятник (рис 3) представляет собой шнур или проволоку длиной до 1 м, верхний конец которой закреплен в зажиме, например, прибит к верхней части  проема двери.  На нижнем конце имеется легкая горизонтальная платформа, в которой закрепляется груз. Грузы  имеют правильную геометрическую форму  (стержни) и известную массу, что облегчает расчет их моментов инерции.

Задание 1. Определение зависимости периода колебаний

                   крутильного  маятника от момента инерции груза.

1. Штангенциркулем измерьте диаметр проволоки, а линейкой ее длину.

2. Измерьте длину стержня  и, по известной массе, рассчитайте его момент инерции.

3. Укрепите стержень в платформе так, чтобы он располагался горизонтально, а центр его тяжести совпадал с линией подвеса.

4. Сообщите маятнику вращательный импульс так, чтобы он совершал крутильные колебания с небольшой амплитудой.  Измерьте суммарное время   5-10  колебаний маятника. Вычислите период колебаний.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19