Учебное пособие: Математические модели в менеджменте и маркетинге
В этой задаче две фирмы сталкиваются
с проблемой удовлетворения спроса на некоторый товар. Объем спроса зависит от
уровня назначаемых цен и описывается функцией d(р) (ей соответствует нисходящая
линия на рис.5). Объем предложения товара каждой из фирм также зависит от
уровня цен и в микроэкономике описывается функциями предложения s1(p}, s2(р);
эти функции определяются уровнем предельных издержек каждой из фирм.
Предположим для простоты, что Фирма 1
и Фирма 2 имеют одинаковые функции предложения s1(p)=s2(p) .
Поиск решения в задаче о дуополии
(т.е. определение уровня цен и объемов предложения каждой из фирм) базируется
на принципах, общих для решения задач теории игр: каждая из сторон располагает
информацией о себе и своем партнере (в данном случае - о функциях предложения
каждой из фирм), об условиях игры (в данном случае - о функции спроса) и
действует, исходя из предположения, что ее партнер располагает такой же
информацией и действует рационально (т.е. стремится максимизировать свой
доход).
Если Фирма 1 назначит цену на
предлагаемый ею товар р1, а Фирма 2 примет эту цену, то Фирма 1 сможет продать
объем товара, равный
Функция r1(p) называется остаточной
функцией спроса, с которой сталкивается Фирма 1 (рис.5). Поскольку величина r1,
описывает объем спроса, приходящийся только на продукцию Фирмы 1, то она
получит максимум дохода, полностью удовлетворив этот спрос, т.е. при условии,
что
В итоге Фирма 1, опираясь на
имеющуюся у нее информацию, решает задачу поиска равновесного уровня цен р ,
при которых
Аналогичную задачу поиска равновесных
цен решает Фирма 2
Учитывая, что s1(p)=s2(p), мы
получим, что в ситуации равновесия
а доход каждой из фирм будет равен
Таким образом, в задаче о дуополии
фирмы должны найти такой уровень цен р*, при котором они смогут полностью
удовлетворить спрос на продукцию d(p*), распределив между собой производство
этой продукции поровну и получив при этом одинаковый доход. Уровень равновесных
цен и объем предложения каждой из фирм определяют в данной задаче ситуацию
равновесия по Нэшу.
6. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
(Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы
принятия решения. -М.:"Аудит",1997, Глава 9.)
Каким бы видом бизнеса вы ни занимались, вам приходится
планировать предпринимательскую деятельность на будущий период. При составлении
как краткосрочных, так и долгосрочных планов менеджеры вынуждены прогнозировать
будущие значения таких важнейших показателей, как, например, объем продаж,
ставки процента, издержки и т.д. В этой главе мы рассмотрим возможности
применения в целях прогнозирования фактических данных за прошлые
промежутки времени.
В предыдущей главе при характеристике регрессионных методов
колебания зависимой переменной объяснялись на основе изучения соответствующих
значений независимой переменной. В данной главе мы будем использовать
аналогичный подход, причем в качестве независимой будет выступать
переменная времени. К примеру, мы хотим объяснить колебания объемов продаж
только через изменение значений этого показателя во времени, без учета
каких-либо других факторов. Если удается выявить определенную тенденцию
изменения фактических значений, то ее можно использовать для прогнозирования
будущих значений данного показателя. Множество данных, в которых время является
независимой переменной, называется временным рядом.
Модель, построенную по ретроспективным данным, не всегда можно
использовать в прогнозировании отдельных показателей. Например, план некоторой
компании может коренным образом измениться, если эта компания несет убытки.
Кроме того, существует множество внешних факторов, которые могут полностью
изменить тенденцию, существовавшую ранее. К таким факторам можно отнести
существенные изменения цен на сырье, резкое увеличение уровня инфляции в мире в
целом или стихийные бедствия, которые непредсказуемым образом могут повлиять на
предпринимательскую деятельность.
В разделе 9.2 мы рассмотрим временные ряды, которые содержат такие
элементы, как собственно тренд, сезонная вариация и циклическая
вариация. Эти элементы можно объединять с помощью нескольких способов.
Остановимся на двух типах моделей: модели с аддитивной компонентой и модели с
мультипли-кативной компонентой. Как следует из их названий, элементы в этих
моделях либо складываются друг с другом, либо перемножаются. Каждой из моделей
соответствуют различные методы расчета компоненты тренда. Мы будем использовать
сочетание методов скользящего среднего и линейной регрессии.
Следует иметь в виду, что описанные выше методы — это далеко не
весь, а иногда и не лучший инструментарий для составления прогнозов. Существует
множество других, более изощренных статистических методов. Помимо
количественных, существуют также качественные методы, которые используются в
условиях недостаточного количества или отсутствия фактических данных. Среди них
можно назвать, например, метод Дельфи, который используется экспертами
для прогнозирования возможных будущих последствий, и метод написания
сценария.
ЭЛЕМЕНТЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА
Значения некоторой переменной (например, объемы продаж) изменяются
во времени под воздействием целого ряда факторов. Если, к примеру, некоторая
компания предлагает на рынке новый вид продукции, то с течением времени объемы
продаж этой продукции возрастают. Общее изменение значений переменной во
времени называется трендом и обозначается через Т. В примерах, которые
будут рассмотрены ниже, тренд является линейным. Это означает, что модель
тренда легко построить, используя для расчета параметров прямой, наилучшим
образом аппроксимирующий данный тренд, метод регрессии. Затем данная модель
может использоваться для прогнозирования будущих значений тренда. В
действительности тренд в чистом виде либо не существует, например, при
колебании значений спроса вокруг некоторой фиксированной величины, либо в
большинстве случаев он является нелинейным. На приведенных ниже рис. 9.1 и 9.2
проиллюстрирован тренд значений спроса в соответствии с различными стадиями
жизненного цикла продукта. Новым видам продукции соответствует возрастающий
тренд, тогда как устаревшим продуктам на заключительной стадии их жизненного
цикла — убывающий.
Метод скользящего среднего, изложенный ниже, можно использовать для
выделения тренда из модели, содержащей сезонную компоненту. Этот метод
позволяет выравнивать тренд фактических значений через сглаживание сезонных
колебаний. Однако тренды, полученные с использованием метода скользящего
среднего, как правило, не используются для прогнозирования будущих значений,
поскольку процесс их получения предполагает высокий уровень неопределенности.
В большинстве случаев значения переменных характеризуют не только
тренд. Часто они подвержены циклическим колебаниям. Если эти колебания
повторяются в течение небольшого промежутка времени, то они называются сезонной
вариацией. Колебания, повторяющиеся в течение более длительного промежутка
времени, называются циклической вариацией. Модели, содержащие сезонную
компоненту, которые будут рассмотрены в данной главе, основаны на традиционном
понятии сезона, однако, в более широком смысле термин «сезон» в прогнозировании
применим к любым систематическим колебаниям. Например, при изучении товарооборота
в течение недели под термином «сезон» подразумевается 1 день. При исследовании
транспортных потоков дня или в течение недели также может использоваться модель
с сезонной компонентой. Любые колебания относительно тренда, построенного по
годовым значениям некоторого показателя, можно описать в виде модели с
циклической компонентой. Не будем рассматривать примеры с циклическим фактором.
Этот фактор можно выявить только по данным за длительные промежутки времени в
10, 15 или 20 лет, однако в данном случае колебания значений тренда могут быть
вызваны воздействием общеэкономических факторов.
Наличие подобных циклических факторов можно легко обнаружить в
данных за 1960—75 гг. В этот период было разработано множество методов
прогнозирования, однако впоследствии тенденции общеэкономического развития
претерпели значительные изменения. Остановимся подробнее на моделировании более
коротких промежутков времени и не будем учитывать воздействие циклической
компоненты.
Последняя предпосылка нашей модели также следует из метода
линейной регрессии. Она связана со значением ошибки, или остатка, т.е.
той части значения наблюдения, которую нельзя объяснить с помощью построенной
модели. Величину ошибок можно использовать в качестве меры степени соответствия
модели исходным данным. Обычно применяют два вида таких мер. Это среднее
абсолютное отклонение (mean absolute deviation — MAD):
равное отношению суммы величин всех ошибок без учета их знака к
общему числу наблюдений, и среднеквадратическая ошибка (mean square error — MCE):
которая представляет собой отношение суммы квадратов ошибок к
общему числу наблюдений. Последняя из указанных мер резко возрастает при
наличии высоких ошибок.
В процессе анализа временного ряда мы стараемся определить все
имеющиеся факторы и построить модель, которая соответствующим образом отражала
бы их.
Пример 9.1 Представленные ниже данные — это количество продукции,
проданной компанией "Lewplan pic" в течение последних 13 кварталов.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 |
