Реферат: Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів

, причому . (6)

Зважаючи на те, що БВВ розподілена рівномірно на інтервалі , імовірності підмножин  визначаються через щільність розподілу БВВ відповідним спввідношенням

. (7)

Це означає, що імовірність попадання значення БВВ в інтервал  дорівнює довжині цього інтервалу (рис.3).

Рисунок 3 - Геометричне пояснення моделювання групи незалежних подій з допомогою БВВ

Таким чином, моделювання ВВ , яка приймає дискретні значення, полягає у виборі значення БВВ за допомогою генератора, перевірки попадання значення БВВ до однієї з підмножин  і винесенні рішення про те, що модельоване ВВ приймає значення

, (8)

де  - це характеристична функція множини. (9)

Розглянемо моделювання ВВ  із заданою щільністю ймовірності  та функцією розподілу

. (10)

Якщо функція  є строго монотонно зростаючою, то із рівняння  можна знайти обернену функцію

. (11)

Підставивши замість  БВВ , можна одержати алгоритм моделювання ВВ із заданим розподілом:

. (12)

Таким чином, для моделювання на ЕОМ ВВ  із заданою щільністю ймовірності, потрібно виконати такі операції:

знайти функцію розподілу, користуючись заданою щільністю ймовірності;

знайти функцію, що буде оберненою до функції розподілу;

одержувати реалізації БВВ ;

обчислювати значення ВВ  як значення знайденої функції .

Виконуючи ці операції  - разів, одержимо вибірку реалізацій . Скориставшись нею, можна побудувати гістограму розподілу і порівняти її з заданою щільністю ймовірності.

Даний метод моделювання має недоліки тому, що не завжди вдається аналітично розрахувати для заданої щільності ймовірностей  інтеграл для одержання , і не для всякої функції розподілу вдається одержати обернену функцію.

Цей метод базується на зображенні складних щільностей ймовірностей  через простіші. Зокрема, можна подати будь-яку щільність ймовірності випадкової величини  у вигляді суміші простих розподілів

, (13)

де  - деякі коефіцієнти, причому , а  - щільності розподілу ВВ, для яких досить просто виконати моделювання на ЕОМ.

В основі моделювання лежить такий математичний апарат. Нехай існують ВВ  і  незалежні між собою і задані на тому самому імовірнісному просторі . Нехай  - це функція розподілу ВВ  і  - це умовна щільність ймовірності ВВ  за умови, що ВВ  прийняла якесь значення

. (14)

Тоді безумовна щільність ймовірності ВВ

. (15)

Припустимо, що  - це ВВ, яка приймає дискретні значення  з імовірностями

. (16)

У цьому випадку , отже приходимо до раніше наведеної суміші розподілу. У ролі щільностей ймовірності найпростішого типу можуть виступати: гаусові, прямокутні, трикутні розподіли.

На рис.6 для прикладу показано, як за допомогою гаусових розподілів апроксимується щільність розподілу складнішого виду

 (17)

Рисунок 6 - Апроксимація складної щільності ймовірності за допомогою гаусових розподілів

Таким чином, алгоритм моделювання ВВ методом суперпозиції містить у собі такі етапи:

вибір вигляду найпростішої щільності розподілу, за допомогою якої апроксимується задана щільність ймовірності;

моделюється реалізація ВВ, яка приймає дискретні значення  з заданими імовірностями ;

для отриманого значення i моделюються реалізація ВВ з -тою щільністю ймовірності;

з нову моделюється реалізація ВВ, яка приймає дискретні значення ;

потім виконується процес моделювання реалізації ВВ із новим номером щільності ймовірності;

зазначені етапи моделювання повторюються доти, доки не буде отримана вибірка реалізацій ВВ необхідного обсягу.

Введемо стандартну гаусову ВВ  із нульовим математичним сподіванням  і одиничною дисперсією

, (18)

де  - символ гаусової щільності ймовірності.

У математичній статистиці доведено, що сумма значного числа незалежних між собою і рівномірно розподілених ВВ має гаусовий закон розподілу. Тому стандартну гаусову ВВ можна моделювати відповідно до виразу:

, (19)

де  - незалежні між собою БВВ.

У загальному випадку довільних  гаусову ВВ можна записати як

, (20)

де  - це необхідні математичне сподівання і дисперсія ВВ.

Таким чином, алгоритм моделювання гаусової ВВ із заданими математичним сподіванням і дисперсією містить такі операції:

одержання  незалежних реалізацій БВВ і виконання над ними перетворення відповідно до зазначеного співвідношення (19);

виконання перетворень (20) для одержання ВВ із заданими .

Для моделювання вказаних ВВ використовуються стандартні гаусові випадкові величини . Спочатку виконується моделювання ВВ згідно виразу

, (21)

де  - стандартні ВВ із гаусовим розподілом ().

Страницы: 1, 2, 3