Курсовая работа: Решение задач линейного программирования в среде Maple

f* = 10 x* = (0,2,1)

§5. Пример решения Транспортной задачи

Метод потенциалов представляет из себя модификацию симплекс-метода, учитывающую специфику транспортной задачи, поэтому его алгоритм не отличается от алгоритма симплекс-метода, за исключением шага проверки целевой функции на неограниченность на множестве решений. Отсутствие указанного шага в методе потенциалов обусловлено теоремой о том, что закрытая ТЗ всегда разрешима. Итак, алгоритм метода потенциалов для решения ТЗ состоит из следующих шагов:

ШАГ 1. Построение начального плана перевозок.

ШАГ 2. Проверка текущего плана на оптимальность.

Если план оптимален, то алгоритм завершен.

ШАГ 3. Улучшение плана перевозок. Переход к шагу 1.

Опишем алгоритм по шагам, иллюстрируя каждый шаг

ШАГ 1. Построение начального плана перевозок.

Построение начального решения (как и последующие расчеты) проводят в таблице, имеющей следующий вид:

Клетка ( i , j ) таблицы соответствует коммуникации, связывающей i-го поставщика сj-м потребителем.

Построить начальный план перевозок означает - назначить объемы перевозок в клетки таблицы таким образом, чтобы:

а)число заполненных клеток было (m+n-1). (Тогда план перевозок будет отвечать базисному решению ЗЛП);

б)сумма перевозок в любой строке должна быть равна запасу соответствующего поставщика, а сумма перевозок в каждом столбце равна потребности потребителя. (Условие выполнения ограничений ТЗ). Существует несколько способов нахождения начального решения, которые отличаются только выбором клетки, в которую назначается очередная перевозка. Так, в способе северо-западного угла (СЗУ) для очередного назначения перевозки выбирается левая верхняя клетка таблицы (при этом никак не учитываются цены перевозок). Наоборот, в способе минимальной стоимости (МС) для заполнения выбирается клетка текущей таблицы с минимальной ценой перевозки, что в большинстве случаев (но не всегда) приводит к более дешевому (а значит и более близкому к оптимальному) начальному плану перевозок.

Мы будем пользоваться способом минимальной стоимости (МС).

Изложим теперь алгоритм нахождения начального решения.

ШАГ 1. Определенным способом выбираем клетку в текущей таблице. Пусть она имеет индексы (i, j) (i -номер поставщика, j - номер потребителя).

ШАГ 2. В качестве перевозок в эту клетку назначаем наименьшую из ai и потребности bj.

xij = min{ ai, bj }

ШАГ З. Уменьшим запас ai и потребность bj на величину перевозки xij, т.е.

ai = ai - xij,

bj =bj -xij

ШАГ 4. При исчерпании запаса (ai = 0) запрещаем к перевозке оставшиеся свободные клетки i-ой строки, а при исчерпании потребности

(bj =0) запрещаем такие же клетки вj-ом столбце.

В случае одновременного исчерпания запасов потребностей (ai =bj = 0) запрещаем перевозки или в строке (тогда считаем, что у потребителя осталась потребность в количестве равном нулю, которую необходимо удовлетворить), или в столбце (в этом случае считаем, что у поставщика остается запас равный нулю, который необходимо вывезти). Это делается для того, чтобы при одновременном запрещении перевозок в строке и столбце количество заполненных клеток таблицы не стало меньшим, чем m+n-1.

Получим новую текущую таблицу, в которую не входят заполненные и запрещенные клетки. Если таблица не пуста, переходим к шагу 1. (При исчерпании таблицы - конец).

Способ минимальной стоимости

1.Клетки с минимальной ценой (3,1), (3,2) и (3,3). Выбираем, например, (3,2). (Далее все шаги, как в предыдущем способе).

2 . x32 = min{50,60} = 50

3. a '3 =50-50=0, b '2 = 100-50=50

4.Запрещаем строку 3.

1.  Клетка с min ценой ~ (2,3)

2.  x23 = min{70,80} = 70

3.  a2=70-70=0, b'3 = 80-70=10

4.  Запрещаем строку 2.

1.  Клетка с min ценой ~ (1,1)

2.  x 11=min{120,60} = 60

3.  a 1' =120-60 = 60, b1' = 0

4.В первом столбце запрещать уже нечего. Текущая таблица содержит две клетки (1,2) и (1,3).

1.Выбираем клетку (1,2)

2.x 12 =min{110,100} = 100

3.a 1 =110-100 = 10, b'1 = 0

4.Текущая таблица содержит одну клетку (1,3).

1. Выбираем последнюю клетку(1,3)

2. x13=min{10,10} = 10

3.a1' = b3 = 0

4.Таблица исчерпана. Конец.

Переходим к описанию следующего шага метода потенциалов.

ШАГ 2. Проверка текущего плана на оптимальность.

Признаком того, что текущий план перевозок является оптимальным, служит условие

(1)ui +vj -cij ≤0

которое выполняется для всех клеток таблицы. Неизвестные здесь величины ui и vj (называемые потенциалами) определяются из условий

(2)ui + vj = cij

Условие (1) означает невозможность появления "спекулятивной" цены. Само же название "потенциалы" заимствовано из физического закона о том, что работа по перемещению заряда в электростатическом поле равна разности потенциалов в данных точках поля (У нас: "...цена перевозки единицы продукции по коммуникации равна разности цен в конце и в начале пути")

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6