Реферат: Лінійна модель виробництва

Мовою моделі Леонтьєва ізольованість множини  означає, що галузі з номерами  під час свого функціонування не використовують товари, вироблені галузями з номерами з множин . Інакше кажучи, частина економіки, що утвориться галузями з множини , може існувати незалежно від інших галузей. Якщо перенумерувати індекси так, щоб , , що відповідає одночасній перестановці рядків і стовпців матриці , то матриця  матиме вигляд

,(8)

де  й – квадратні підматриці розмірів  і  відповідно,  – .

Матриця  називається нерозкладною, якщо в множині  немає ізольованих підмножин, крім самої  і порожньої множини.

Інакше кажучи, матриця  нерозкладна, якщо одночасною перестановкою рядків і стовпців її не можна привести до вигляду (8).

Нерозкладність матриці  в моделі Леонтьєва означає, що кожна галузь використовує хоча й побічно, продукцію всіх галузей.

Розглянемо деякі властивості нерозкладних матриць:

1. Нерозкладна матриця не має нульових рядків і стовпців; якщо -й рядок матриці  нульовий, то множина  ізольована.

2. Якщо – нерозкладна й то .

Теорема Фробеніуса-Перрона: нерозкладна матриця  має таке власне число , що й модулі всіх інших власних чисел матриці  не перевищують ; числу  відповідає з точністю до скалярного множника власний вектор , всі координати якого ненульові й одного знака, тобто можна вважати .

4. Лема: нехай  – нерозкладна матриця, , , , крім того, у вектора  є нульові координати та , тоді у вектора  знайдеться додатна координата , причому .

5. Лема: якщо матриця  нерозкладна, , , то з нерівності  випливає, що , .

5. Зв'язок між коефіцієнтами прямих і повних витрат

Нехай розглядається матриця коефіцієнтів прямих витрат у натуральному або вартісному виразі .

Для виробництва одиниці продукції -ї галузі необхідно затратити набір продуктів , що описується -м стовпцем матриці . Але для виробництва цього набору  необхідно безпосередньо затратити набір продуктів, який ми позначимо через .

Елементи вектора витрат  називаються коефіцієнтами непрямих витрат першого порядку відповідних продуктів на виробництво одиниць -го продукту .

Матриця , складена зі стовпців , , називається матрицею непрямих витрат першого порядку й визначається відповідно до формули

.

Непрямими витратами другого порядку називають прямі витрати, необхідні для забезпечення непрямих витрат першого порядку, тобто , або в матричній формі

де – матриця коефіцієнтів непрямих витрат другого порядку.

Продовжуючи за аналогією, назвемо непрямими витратами порядку  прямі витрати на забезпечення непрямих витрат порядку . Очевидно, що матрицю коефіцієнтів непрямих витрат -го порядку одержимо, помноживши  на

. (9)

Визначимо тепер повні витрати як суму прямих і непрямих витрат усіх порядків. Відповідно до цього матриця , складена з коефіцієнтів повних витрат, утвориться як сума

(10)

або з огляду на те, що , маємо

(11)

Коефіцієнти прямих і повних матеріальних витрат мають важливе значення для характеристики структури техніко-економічних зв'язків і для аналізу ефективності виробництва з боку витрат упредметненої праці. Суттєва відмінність коефіцієнтів повних витрат від коефіцієнтів прямих витрат полягає в тому, що вони є не галузевими, а народногосподарськими показниками й формуються з урахуванням технологічних зв'язків між галузями.

З'ясуємо такий момент. Чи не виявляться будь-які з коефіцієнтів повних витрат нескінченно великими?

Розглянемо матрицю

.

Очевидно, що елементи матриці  скінченні разом з елементами матриці  тільки в тому випадку, якщо скінченна сума ряду . Крім того, відповідно до умови (3) його збіжність є умовою, еквівалентною продуктивності матриці , причому . Отже, у випадку продуктивності матриці  й тільки в цьому випадку матриця повних витрат  скінченна, її визначають відповідно до формули

.

Для великих значень  важко обчислити зворотну матрицю. В цьому випадку матрицю , як і матрицю , можна обчислити приблизно, користуючись методом ітерацій. На першій ітерації , на другій ітерації , на третій , на -й ітерації . Часткова сума  відрізняється від часткової суми  на величину . Через те що ряд збігається,  при . Тому за скінченну кількість кроків можна досягти заданої точності обчислень.

Страницы: 1, 2, 3, 4