Реферат: Лінійна модель виробництва

Величини  вказують обсяг продукту з номером , витрачений галуззю  в процесі виробництва за звітний період. Числа ,  дорівнюють обсягу продукції (валовому випуску) -ї галузі за той самий період, а значення  – обсягу продукції -ї галузі, що був спожитий у невиробничій сфері. Числа , показують розподіл -го продукту на виробничі потреби всіх інших галузей. Балансовий характер табл. 1 виражається в тому, що мають виконуватися співвідношення

, .(3)

Отже, валова продукція визначається як сума кінцевої й проміжної продукції.

Одиниці виміру всіх зазначених величин можуть бути натуральними або вартісними, залежно від чого розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланс.

Якщо всі елементи -го стовпця таблиці 1 розділити на , то число  розумітимемо як обсяг продукції -ї галузі, необхідний для виробництва однієї одиниці продукту -ї галузі. Числа ,  характеризують технологію -ї галузі у звітний період і звуться коефіцієнтами прямих витрат -ї галузі. Під  розумітимемо частку продукції -ї галузі, витрачену на невиробниче споживання. Основним елементом схеми міжгалузевого балансу є квадратна матриця , яку називають матрицею коефіцієнтів прямих витрат.

Першим допущенням даної схеми є те, що сформована технологія виробництва є незмінною протягом деякого проміжку часу. Друге допущення полягає в тому, що для виробництва  одиниць продукції галузі  необхідно затратити  одиниць галузі , тобто передбачається, що витрати прямо пропорційні випуску (є лінійно однорідною функцією випуску).

Під час виробництва набору продукції  витрати продукції -ї галузі складуть у цьому випадку величину

 .(4)

Переходячи до матричних позначень, стверджуємо, що вектор виробничих витрат дорівнює . Якщо – вектор кінцевих споживань, тоді валова продукція -ї галузі дорівнює

,  (5)

або в матричній формі

. (6)

Систему рівнянь (6) називають моделлю міжгалузевого балансу або моделлю Леонтьєва. Дана модель пов'язує обсяги валових випусків з обсягами кінцевої продукції й може бути використана для розрахунку цих величин. Наприклад, якщо відомий набір можливих при даних ресурсах випусків , то система (6) дозволить розрахувати набір відповідних значень . Якщо спочатку відомий бажаний набір кінцевої продукції, то за допомогою моделі (6) можна визначити необхідні для його забезпечення обсяги валового випуску по галузі, тобто

 (7)

при заданій матриці .

3. Розв’язок моделі Леонтьєва

За економічними міркуваннями всі коефіцієнти матриці  невід’ємні: , . У цьому випадку говорять, що матриця  невід’ємна й записують . Невід’ємні компоненти заданого вектора  або .

Розв’язок, який має бути знайдений, за змістом також повинний мати тільки невід’ємні компоненти, тобто потрібне виконання нерівностей  або . Можливість одержання невід’ємного розв’язку визначається властивостями матриці .

Матриця  називається продуктивною, якщо існують два вектори  і , такі, що .

Продуктивність матриці  означає, що виробнича система здатна забезпечити деякий позитивний кінцевий випуск за всіма продуктами.

Розглянемо умови продуктивності матриці :

1) послідовні головні мінори матриці  позитивні, тобто для кожного  виконана нерівність

;

2) матриця  невід’ємно зворотна, це означає , що існує зворотна матриця  й всі її елементи невід’ємні:

3) матричний ряд  збігається, причому

.

4) максимальне власне число .

Повернемося до системи рівнянь (7). За заданим вектором  потрібно знайти вектор , для якого . Перепишемо систему (7) у вигляді , де  – одинична матриця. Якщо матриця  продуктивна, то відповідно до умови 2) матриця  існує й невід’ємна. Тому розв’язок системи рівнянь (7) існує, єдиний і має вигляд . Через те, що  й , .

Особливістю матриці  в моделі Леонтьєва є те, що всі елементи її невід’ємні. Такі матриці володіють рядом властивостей. Розглянемо їх в наступному підрозділі.

4. Властивості невід’ємних матриць

Нехай  – квадратна матриця розміром  з невід’ємними елементами , ; підмножина множини  натуральних чисел . Говорять, що  ізольовано (щодо даної матриці ), якщо в матриці   при , .

Страницы: 1, 2, 3, 4