Реферат: Построение эйлерова цикла. Алгоритм Форда и Уоршелла

Реферат: Построение эйлерова цикла. Алгоритм Форда и Уоршелла

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра информатики

РЕФЕРАТ

на тему:

«Построение эйлерова цикла. Алгоритм форда и Уоршелла»

МИНСК, 2008

1. Эйлеровы цепи и циклы

Рассматриваемая задача является одной из самых ста­рей­ших в теории графов. В городе Кенигсберге (ныне Калининград) имелось семь мостов, соединяющих два берега реки Преголь, и два основа на ней друг с другом (рис. 1а). Требуется, начав путешествие из одной точки города прой­ти по всем мостам по одному разу и вернуться в исходную точку.

а)                                                       б)

Рис. 1.

Если поставить в соответствие мостам ребра, а участкам суши — вершины, то получится граф (точнее псевдограф), в котором надо найти про­стой цикл, проходящий через все ребра. В общем виде эта задача была решена Эйлером в 1736 г.

Определение 1. Эйлеровой цепью в неориентированном графе G называется простая цепь, содержащая все ребра графа G. Эйлеровым циклом назы­вается замкнутая Эйлерова цепь. Аналогично, эйлеров путь в орграфе G — это простой путь, содержащий все дуги графа G. Эйлеров контур в орграфе G — это замкнутый эйлеров путь. Граф, в котором существует эйлеров цикл, называется эйлеровым.

Простой критерий существования эйлерова цикла в связном графе дается следующей теоремой.

Теорема 1. (Эйлер) Эйлеров цикл в связном неориентированном графе G(X, E) существует только тогда, когда все его вершины имеют четную степень.

Доказательство. Необходимость. Пусть m - эйлеров цикл в связном гра­фе G, x — произвольная вершина этого графа. Через вершину x эйлеров цикл проходит некоторое количество k (k³1) раз, причем каждое прохождение, очевидно, включает два ребра, и степень этой вершины равна 2k, т.е. четна, так как x выбрана произвольно, то все вершины в графе G имеют четную сте­пень.

Достаточность. Воспользуемся индукцией по числу m ребер графа. Эйле­ровы циклы для обычных (не псевдо) графов можно построить начиная с m=3.Легко проверить, что единственный граф с m=3, имеющий все вершины с четными степенями, есть граф K3 (рис. 2). Существование эйлерова цикла в нем очевидно. Таким образом, для m=3 достаточность условий доказываемой теоремы имеет место. Пусть теперь граф G имеет m>3 ребер, и пусть утверждение справедливо для всех связных графов, имеющих меньше, чем m ребер. Зафиксируем произвольную вершину a графа G и будем искать простой цикл, идущий из a в a. Пусть m(a, x) — простая цепь, иду­щая из a в некоторую вершину x. Если x ¹ a, то цепь m можно продолжить из вершины x в некотором направлении. Через некоторое число таких про­дол­­же­ний мы придем в вершину zÎX, из которой нельзя продлить полу­чен­ную про­стую цепь. Легко видеть, что z = a так как из всех остальных вершин цепь может выйти (четные степени!); a в a она начиналась. Таким образом, нами построен цикл m, идущий из a в a. Предположим, что построенный про­стой цикл не содержит всех ребер графа G. Удалим ребра, входящие в цикл m, из графа G и рассмотрим полученный граф . В графе  все вершины имеют четные степени. Пусть  — компо­нен­ты связ­нос­ти графа , содержащие хотя бы по одному ребру. Соглас­но пред­поло­же­нию индукции все эти компоненты обладают эйлеровыми циклами m1, m1, …, mk соот­вет­ствен­но. Так как граф G связан, то цепь m встре­чает каждую из компонент. Пусть первые встречи цикла m с ком­понентами  происходят соответственно в вершинах x1, x2, …, xk. Тогда про­стая цепь

      n(a, a)=m(a, x1) U m1(x1, x1) U m(x1, x2) U…U mk(xk, xk) U m(xk, a)

является эйлеровым циклом в графе G. Теорема доказана.

Замечание. Очевидно, что приведенное доказательство будет верно и для псевдографов, содержащих петли и кратные ребра (см. рис. 1,а).

Таким образом, задача о кенигсбергских мостах не имеет ре­ше­ния, так как соответствующий граф (см. рис. 1,б) не имеет эйлерова цикла из-за не­четности степеней все вершин.

Отметим, что из существования эйле­ро­ва цикла в неориентированном графе G не следует связность этого графа. Напри­мер, неориентированный граф G на рис. 3 обладает эйлеровым циклом и вместе с тем несвязен.

Совершенно также, как теорема 1, могут быть доказаны следующие два утверждения.

Теорема 2. Связный неориентированный граф G обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда число вершин нечетной степени в нем равно 0 или 2, причем если это число равно нулю, то эйлерова цепь будет являться и циклом.

Теорема 3. Сильно связный орграф G(X, E) обладает эйлеровым кон­ту­ром тогда и только тогда, когда для любой вершины xÎX выполняется

                                               .

Можно также обобщить задачу, которую решал Эйлер следующим обра­зом. Будем говорить что множество не пересекающихся по ребрам простых цепей  графа G покрывает его, если все ребра графа G включены в цепи mi. Нужно найти наименьшее количество таких цепей, которыми можно покрыть заданный граф G.

Если граф G — эйлеров, то очевидно, что это число равно 1. Пусть теперь G не является эйлеровым графом. Обозначим через k число его вер­шин нечетной степени. По теореме … k четно. Очевидно, что каждая верши­на нечетной степени должна быть концом хотя бы одной из покрывающих G цепей mi. Следовательно, таких цепей будет не менее чем k/2. С другой сто­роны, таким количеством цепей граф G покрыть можно. Чтобы убедиться в этом, расширим G до нового графа , добавив k/2 ребер , соединяющих раз­личные пары вершин нечетной степени. Тогда  оказывается эйлеровым графом и имеет эйлеров цикл . После удаления из  ребер  граф разло­жится на k/2 цепей, покрывающих G. Таким образом, доказана.

Теорема 4. Пусть G — связный граф с k>0 вершинами нечетной степени. Тогда минимальное число непересекающихся по ребрам простых цепей, покрывающих G, равно k/2.

Алгоритм построения эйлерова цикла

Для начала отметим, что теорема 1 также дает метод построения эйлерова цикла. Здесь мы рассмотрим несколько иной алгоритм.

Пусть G(X, E) — связный неорентированный граф, не имеющий вершин нечетной степени. Назовем мостом такое ребро, удаление которого из связного графа разбивает этот граф на две компоненты связности, имеющие хотя бы по одному ребру.

1°. Пусть a — произвольная вершина графа G. Возьмем любое ребро e1=(a, x1) , инцидентное вершине a, и положим m = {e1}.

2°. Рассмотрим подграф G1(X, E\m1). Возьмем в качестве e2 ребро, инци­дентное вершине x1 и неинцидентное вершине a, которое также не является мостом в подграфе G1 (если такое ребро e2 существует!). Получим простую цепь m2 = {e1, e2}.

3°. Пусть e2 = (x1, x2), x ¹ a. Рассмотрим подграф G2(X, E\m2) и удалим из него все изо­лированные вер­шины. В полученном подграфе  выберем ребро e3ÎE\m2, инцидентное вершине a, которое не является мостом в под­графе  (если такое ребро e3 суще­ству­ет!). Получим простую цепь

                                           m3 = {e1, e2, e3}.

Продолжая указанный процесс, мы через конечное число шагов получим эйлеров цикл m = {e1, e2, …, en}, где n — число ребер графа G(X, E).

Обоснование алгоритма

Предположим, что уже построена простая цепь mk-1 = {e1, e2, …, ek-1} для k³2 методом, указанным в алгоритме. Пусть ek-1 = (xk-2, xk-1) и xk-1 ¹ a. Рас­смо­трим подграф , который получается из подграфа Gk-1(X, E\mk-1) удалением всех изолированных вершин. Вершина xk-1 в этом подграфе  имеет нечет­ную степень, поэтому существует по крайней мере одно ребро ekÎE\mk-1, ин­ци­дентное xk-1. Если это ребро единственное, то оно не является мостом в графе . В противном случае вершина a будет связана с некоторой вер­ши­ной  единственной цепью, содержащей ребро ek, что противоречит суще­ствованию эйлерова цикла в графе G. Поскольку ek - не мост, то процесс мож­но продолжать, взяв . Если ребро ek не единственное инци­дентное вершине xk-1, то среди этих ребер есть по крайней мере одно, не явля­ющееся мостом. В противном случае один из этих мостов  можно выбро­сить так, что вершины xk-1 и a попадут в разные компоненты связности графа . Если xk-1 принадлежит компоненте M, то в этой компоненте все вер­шины имеют четную степень, поэтому существует эйлеров цикл в M, про­хо­дящий через xk-1. Этот цикл содержит все ребра, инцидентные xk-1 и при­над­лежащие , являющиеся одновременно мостами. Получено противоречие, так как ребра из эйлерова цикла мостами быть не могут. Итак, в рассмотренном случае существует ребро ek, инцидентное вершине xk-1 и не являющееся мостом. Значит, и в этом случае процесс можно продолжать, взяв

Страницы: 1, 2, 3