Реферат: Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций
Реферат: Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций
Московский
городской университет управления правительства Москвы
Факультет
управления
Кафедра
прикладной математики
Реферат
по учебной
дисциплине
"Математические
методы исследования систем управления"
На тему: "Биматричные игры. Поиск равновесных
ситуаций"
2010
1. Биматричные игры
Абсолютно любая
управленческая деятельность не может существовать без конфликтных ситуаций. Это
ситуации, где сталкиваются двое или больше сторон с разными интересами.
Совершенно естественно, что каждая из сторон хочет решить конфликт в свою
пользу и получить максимальную выгоду. Решение такой задачи может быть
осложнено тем, что конфликтующая сторона не имеет полной информации о конфликте
в целом. Иначе можно сказать, что в конфликтной ситуации необходимо принять
оптимальное решение в условиях неопределённости.
Для решения такого рода
задач используется математическое моделирование. Введём несколько основных
понятий. Математическая модель конфликтной игрой называется игрой. Стороны
конфликта – игроки, действие игрока – ход, совокупность ходов – стратегия,
результат игры – выигрыш.
Обязательным моментом
перед решением задачи является выявление определённых правил. Как правило, эти
правила представляют собой совокупность требований и ограничений на действия
игроков, обмен информацией игроков о действиях противников, функций выигрышей
противников и т.п. Правила должны быть чёткими, иначе игра не состоится.
К настоящему времени
существует несколько способов классификации игр. Основным является деление на
бескоалиционные конечные парные игры с выигрышами (матричные, позиционные,
биматричные) и коалиционные. В данном реферате мы рассмотрим биматричные игры.
Игры с фиксированной
суммы – игры, в которых интересы игроков хоть и не совпадают, но не являются
полностью противоположными. Частным случаем являются биматричные игры.
Биматричная игра – это
конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого
игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой
матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2,
на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во
второй матрице – выигрыш игрока 2.)
Рассмотрим парную игру, в
которой каждый из участников имеет следующие возможности для выбора своей линии
поведения:
игрок А – может выбрать
любую из стратегий А1, …, Аm;
игрок В – любую из
стратегий В1, …, Вn;
Если игрок А выбрал
стратегию Аi, игрок В –
Вj, то в итоге выигрыш игрока А
составит аij, игрока В
– bij. Выигрыши игроков А и В можно
записать в виде двух таблиц.
А=
В=
Таким образом, если
интересы игроков различны, но не обязательно противоположны, для описания игры
используются две платёжные матрицы. Данный факт и дал название подобным играм –
биматричным.
2. Состояние равновесия в
биматричных матрицах
Решением биматричной игры
есть такое решение, которое в том или ином смысле устраивает обоих игроков.
Данная формулировка очень расплывчата, что обуславливается тем, что в
биматричных играх довольно трудно чётко сформулировать цели для игроков. Как
один из возможных вариантов – желание игрока навредить своему сопернику в ущерб
собственному выигрышу, или цель будет противоположна.
Обычно рассматриваются
два подхода к решению биматричной игры. Первый – поиск равновесных ситуаций:
ищутся условия, когда игра находится в некотором равновесии, которое невыгодно
нарушать ни одному из игроков в отдельности. Второй – поиск ситуаций,
оптимальных по Парето: нахождение условий, при которых игроки совместными
усилиями не могут увеличить выигрыш одного игрока, не уменьшив при этом выигрыш
другого.
Остановим своё внимание
на первом подходе.
В данном подходе
используются смешанные стратегии, т.е. случай, когда игроки чередуют свои
чистые стратегии с определёнными вероятностями.
Пусть игрок А выбирает
стратегию А1, с вероятностью р1, А2 – р2,
…, Аm – pm, причём

Игрок В использует
стратегию В1 с вероятностью q1, B2 – q2, …, Bn – qn, причём

В качестве критерия "удачности"
игры возьмём математические ожидания выигрыша игроков, которые вычисляются по
формулам:


Таким образом, можно
сформулировать основное определение:
Распределение
вероятностей Р* ( ) и Q ( )
определяют равновесную ситуацию, если для любых других распределений P и Q одновременно выполнены следующие неравенства:

Если равновесная ситуация
существует, то отклонение от неё невыгодно самому игроку.
Также справедлива теорема
Дж. Нэша. Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию в
смешанных стратегиях.
3. Общий принцип решения
биматричных игр
В первое неравенство
системы последовательно подставляются все чистые стратегии игрока А, при
предположении, что В придерживается своей оптимальной стратегии. Во второе
неравенство подставляются все чистые стратегии игрока В, при предположении, что
А придерживается своей оптимальной стратегии.
Полученная система m+n неравенств,
решение которой дает значение элементов оптимальных смешанных стратегий (P*,Q*) и платежи, получаемые игроками в точке равновесия.
Пример: борьба за рынок.
А=
В=
Решение задачи
vA=-10×1q1+2×1*(1-q1)+(1-p1)q1-(1-p1)(1-q1)=-14×1q1+3×1+2q1-1
vB=5×1q1-2×1*(1-q1)-(1-p1)q1 +(1-p1)(1-q1)=9×1q1-3×1-2q1+1
Пусть
p1=1 тогда vA=2-12q1
-14×1q1+3×1+2q1-1
p1=0 тогда vA=-1+2q1
-14×1q1+3×1+2q1-1
q1=1тогда vB=-1+6×1 9×1q1-3×1-2q1+1
q1=0 тогда vB=1–3×1 9×1q1-3×1-2q1+1
Cоставляем 4 системы, преобразовываем,
получаем:
(p1-1)(-14q1+3) 0
p1 (-14q1+3) 0
(q1-1)(9×1–2)
0
q1 (9×1–2)
0
p1=0 следовательно -(-14q1+3) 0 q1 3/14
p1=1 следовательно (-14q1+3)>=0 q1 3/14
0<p1<1 следовательно -(-14q1+3) 0 и (-14q1+3) 0->q1=3/14
q1=0 следовательно p1 2/9
q1=1 следовательно p1 2/9
0<q1< 0-p1=2/9
Строим график по всем p и
всем q, получается на пересечении точка p1=2/9, q1=3/14 -
решение системы неравенств.
P(2/9;7/9), Q(3/14;11/14)
vA=4/7, vB=1/3
Вывод: 2/9 товара
предлагать на первом рынке и 7/9 на втором рынке и тогда минимальный проигрыш —
4/7. 3/14 -защищать 1-й рынок, 11/14-защищать второй рынок.
|