Курсовая работа: Численные методы решения типовых математических задач
Система алгебраических
уравнений имеет решение, если число уравнений соответствует числу неизвестных.
Для этого необходимо ввести еще два уравнения. Обычно используются следующие
условия:
При построении алгоритма
метода первые и вторые производные удобно аппроксимировать разделенными разностями
соответствующих порядков.
Полученный таким образом
сплайн называется естественным кубическим сплайном. Найдя коэффициенты сплайна,
используют эту кусочно-гладкую полиноминальную функцию для представления данных
при интерполяции.
2.4 Численный метод решения задачи
Значения f(x0), f(x1), … , f(xn)
, т.е. значения табличной функции в узлах, называются разделенными разностями
нулевого порядка (k=0).
Отношение  называется разделенной
разностью первого порядка (k=1) на участке [x0, x1] и
равно разности разделенных разностей нулевого порядка на концах участка [x0,
x1], разделенной на длину этого участка.
Для
произвольного участка [xi, xi+1] разделенная разность
первого порядка (k=1) равна
Отношение  называется
разделенной разностью второго порядка (k=2) на
участке [x0, x2] и равно
разности разделенных разностей первого порядка, разделенной на длину участка [x0, x2].
Для
произвольного участка [xi, xi+2] разделенная разность
второго порядка (k=2) равна
Таким
образом, разделенная разность k-го порядка на
участке [xi, xi+k] может быть
определена через разделенные разности (k-1)-го порядка по рекуррентной формуле:
 (2.3)
Где   n – степень многочлена.
Максимальное
значение k равно n. Тогда i =0 и разделенная разность n-го порядка на участке [x0,xn] равна
 ,
т.е. равна
разности разделенных разностей (n-1)-го порядка,
разделенной на длину участка [x0,xn].
Разделенные
разности
являются
вполне определенными числами, поэтому выражение (2.2) действительно является
алгебраическим многочленом
n-й степени. При этом в многочлене (2.2) все разделенные алгебраическим многочленом n-й
степени. При этом в многочлене (2.2) все разделенные разности определены для
участков [x0, x0+k],  .
Лемма:
алгебраический многочлен (2.2), построенный по формулам Ньютона, действительно
является интерполяционным многочленом, т.е. значение многочлена в узловых
точках равно значению табличной функции
Докажем это.
Пусть х=х0 , тогда многочлен (2.2) равен
Пусть х=х1,
тогда многочлен (2.2) равен
Пусть х=х2, тогда многочлен (2.2) равен
Заметим, что
решение задачи интерполяции по Ньютону имеет
некоторые преимущества по сравнению с решением задачи интерполяции
по Лагранжу. Каждое слагаемое интерполяционного многочлена Лагранжа
зависит от всех значений табличной функции yi,
i=0,1,…n. Поэтому при изменении количества узловых точек N и степени многочлена n (n=N-1)
интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново. В многочлене
Ньютона при изменении количества узловых точек N и
степени многочлена n требуется только добавить или
отбросить соответствующее число стандартных слагаемых в формуле Ньютона (2.2).
Это удобно на практике и ускоряет процесс вычислений.
2.5 Схема алгоритма
На рисунке 2.1
представлена схема алгоритма решения задачи №2.
На рисунке 2.2
представлена схема алгоритма ввода исходных данных (подпрограмма-процедура Vvod).
На рисунке 2.3
представлена схема алгоритма интерполяции функции по методу Ньютона с
разделенными разностями (newt)
На рисунке 2.4
представлена схема алгоритма записи данных и результата в файл
(подпрограмма-процедура zapisb_v_fail).
На рисунке 2.5
представлена схема алгоритма вывода содержимого записанного файла на экран
(подпрограмма-процедура outputtoscreen).
2.6
Текст программы
program
newton;
uses
crt,graph;
const c=10;
type
matr=array[0..c,0..c] of real;
mas=array[0..c]
of real;
var
x,y,koef_polinoma:mas;
a:matr;
b:mas;
d1:real;
n:integer;
fail,fail1,ekran:text;
procedure
Vvod(var kolvo:integer; var uzel,fun:mas);
{Процедура осуществляет ввод
данных:пользователь вводит с клавиатуры
узлы интерполяции и
значения функции в них. Также определяется количество узлов.}
var code,i:integer;
s:string;
begin
writeln('введите
количество узлов');
readln(kolvo);
kolvo:=kolvo-1;
for i:=0 to
kolvo do
begin
repeat
writeln('введите ',i,'-й узел интерполирования');
readln(s);
val(s,uzel[i],code);
until code=0;
repeat
writeln('введите
значение функции, соответствующее данному узлу');
readln(s);
val(s,fun[i],code);
until code=0;
end;
end;
procedure
newt(var kolvo:integer; D:real; var koef,uzel,fun:mas)
var L,P:real;
begin
L:=fun[0];
P:=1;
for i:=1 to
kolvo do
begin
P:=P*(D-uzel[i-1]);
for j:=1 to
kolvo-i do
begin
fun[j]:=(fun[j-1]-fun[j])/(uzel[j+i]-uzel[i])
end;
koef[i]:=fun[0];
L:=L+P*fun[0];
end;
end;
procedure
newt(var kolvo:integer; D:real; var koef,uzel,fun:mas) {процедура интерполяции функции методом
Ньютона}
var L,P:real;
begin
L:=fun[0];
P:=1;
for i:=1 to
kolvo do
begin
P:=P*(D-uzel[i-1]);
for j:=1 to
kolvo-i do
begin
fun[j]:=(fun[j-1]-fun[j])/(uzel[j+i]-uzel[i])
end;
koef[i]:=fun[0];
L:=L+P*fun[0];
end;
end;
procedure
zapisb(koef:mas; uzel,fun:mas; kolvo:integer; var f:text);
{В данной процедуре осуществляется
запись в файл данных и результата}
var i:integer;
begin
assign(f,'interpol.txt');
rewrite(f);
for i:=0 to
kolvo do writeln(f,'x= ',uzel[i]:8:4,' f(x)=',fun[i]:8:4);
writeln(f,'Интерполяционный полином');
write(f,'p(x)=',koef[0]:8:4);
for i:=1 to
kolvo do if i>1 then write (f,'+(',koef[i]:8:4,')*x^',i)
else write
(f,'+(',koef[i]:8:4,')*x');
close(f);
end;
procedure
vblvod(var f1,f2:text);
{Вывод содержимого записанного файла
на экран}
var s1:string;
begin
clrscr;
assign(f1,'interpol.txt');
reset(f1);
assigncrt(f2);
rewrite(f2);
while not
eof(f1) do
assigncrt(f2);
rewrite(f2);
while not
eof(f1) do
begin
Readln(f1,s1);
writeln(f2,s1);
end;
close(f2);
close(f1);
end;
procedure
grafik(kolvo:integer; uzlbl,funktsiya:mas; c:mas);
{Построение графика
полученной функции}
var
driver,mode,Err,a1,b1,z,i,j:integer; s:string; xt,yt:real;
begin
driver:=detect;
InitGraph(driver,mode,'d:\tp7\bp\bgi');
err:=graphresult;
if
err<>grok then writeln('Ошибка при инициализации графического режима')
else
begin
Setcolor(9);
line(320,0,320,480);
line(0,240,640,240);
settextstyle(smallfont,horizdir,3);
setcolor(10);
outtextxy(320,245,'0');
a1:=0;
b1:=480;
z:=-10;
for i:=0 to 20
do
begin
if z<>0
then
begin
str(z,s);
setcolor(10);
outtextxy(a1,245,s);
outtextxy(325,b1,s);
setcolor(8);
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
