Контрольная работа: Застосування методу Монте-Карло для кратних інтегралів

Узявши досить велике число n точок , приблизно можна покласти: ; звідси шуканий інтеграл виражається формулою

де під σ розуміється m-мірний об’єм області інтегрування σ. Якщо обчислити σ важко, то можна прийняти: , звідси . В окремому випадку, коли σ є одиничний куб, перевірка стає зайвою, тобто n=N і ми маємо просто

.

2.1 Принцип роботи методу Монте–Карло

Датою народження методу Монте-Карло визнано вважати 1949 рік, коли американські учені Н. Метрополіс і С. Услам опублікували статтю під назвою «Метод Монте-Карло», в якій були викладені принципи цього методу. Назва методу походить від назви міста Монте–Карло, що славився своїми гральними закладами, неодмінним атрибутом яких була рулетка – один з простих засобів здобуття випадкових чисел з хорошим рівномірним розподілом, на використанні яких заснований цей метод. Метод Монте–Карло - це статистичний метод. Його використовують при обчисленні складних інтегралів, вирішенні систем рівнянь алгебри високого порядку, моделюванні поведінки елементарних часток, в теоріях передачі інформації, при дослідженні складних економічних систем. Суть методу полягає в тому, що в завдання вводять випадкову величину , що змінюється по якому те правилу . Випадкову величину вибирають так, щоб шукана в завданні величина стала математичною чекання від , тобто .

Таким чином, шукана величина визначається лише теоретично. Щоб знайти її чисельно необхідно скористатися статистичними методами. Тобто необхідно узяти вибірку випадкових чисел  об'ємом . Потім необхідно обчислити вибіркове середнє варіанту випадкової величини  по формулі:

.                                                    (1)

Обчислене вибіркове середнє приймають за наближене значення

.

Для здобуття результату прийнятної точності необхідна велика кількість статистичних випробувань. Теорія методу Монте-Карло вивчає способи вибору випадкових величин  для вирішення різних завдань, а також способи зменшення дисперсії випадкових величин.

3. Програма обчислення кратного інтеграла методом Монте-Карло

Обчислити певний інтеграл . за методом “Монте-Карло” по формулі

,

де n – число випробувань ;g(x) – щільність розподілу.

3.1 Програма складена на мові програмування TURBO PASCAL 7.0

program MonteCarlo;

uses

 crt;

const k=100;

Var a,b,c,d,ng,vg,x,y,s,integral : real;

 n,i,j : integer;

 integr:array[1..k]of real;

Function f(x,y:real):real;

 Begin

 f:=Sqrt(x+y);

 end;

Function nm(x:real):real;

 Begin

 nm:=3*x;

 end;

Function vm(x:real):real;

 Begin

 vm:=8*x;

 end;

BEGIN

clrscr;

writeln('Vvedit znachennya granyts integruvannya ');

 write('a='); readln(a);

 write('b='); readln(b);

 writeln('Vvedit chyslo vyprobuvan:');

 readln(n);

 c:=nm(a);

 d:=vm(b);

 randomize;

 for j:=1 to k do

 begin

 s:=0; integral:=0;

 For i:=1 to n do

 begin

 x:=a+(b-a)*random;

 y:=c+(d-c)*random;

 ng:=nm(x);

 vg:=vm(x);

 If (y <= vg) and(y >= ng) then s:=s + f(x, y);

 end;

 integr[j]:=(b-a)*(d-c)*s/n;

 writeln(integr[j]:10:4);

 end;

 for j:=1 to k do

 Integral:=integral+ integr[j];

 writeln('Userednenyy integral=',(integral/k):10:4);

 readln;

END.

3.2Програма складена в Matematica program MonteCarlo;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses

 SysUtils;

const k=100;

Var a,b,c,d,ng,vg,x,y,s,integral : real;

 n,i,j : integer;

 integr:array[1..k]of real;

Function f(x,y:real):real;

 Begin

 f:=Sqrt(x+y);

 end;

Function nm(x:real):real;

 Begin

 nm:=3*x;

 end;

Function vm(x:real):real;

 Begin

 vm:=8*x;

 end;

BEGIN

 writeln('Vvedit znachennya granyts integruvannya ');

 write('a='); readln(a);

 write('b='); readln(b);

 writeln('Vvedit chyslo vyprobuvan:');

 readln(n);

 c:=nm(a);

 d:=vm(b);

 for j:=1 to k do

 begin

 s:=0; integral:=0;

 randomize;

 For i:=1 to n do

 begin

 x:=a+(b-a)*random;

 y:=c+(d-c)*random;

 ng:=nm(x);

 vg:=vm(x);

 If (y <= vg) and(y >= ng) then s:=s + f(x, y);

 end;

 integr[j]:=(b-a)*(d-c)*s/n;

 writeln(integr[j]:10:4);

 end;

 for j:=1 to k do

 Integral:=integral+ integr[j];

 writeln('Userednenyy integral=',(integral/k):10:4);

 readln;

 readln;

END.

3.1Результат програми

Висновок

Метод Монте-Карло використовується дуже часто, часом неефективним чином. Він має деякі очевидні переваги:

а) Він не потребує ніяких свідчень про регулярність. Це може бути корисним, тому що часто дуже складна функція, властивості регулярності якої важко установити.

б) Він приводить до здійснення процедури навіть у багатомірному випадку, коли чисельне інтегрування застосувати неможливо наприклад, при числі вимірів, більшим за 10.

Страницы: 1, 2, 3