Курсовая работа: Расчет переходных процессов в электрических цепях. Формы и спектры сигналов при нелинейных преобразованиях

Величину  R/2L = α называют коэффициентом затухания,  – резонансной частотой контура. При этом

.

Характер переходных процессов в контуре зависит от вида корней p1 и p2. Они могут быть:

1) вещественные, различные при R > 2ρ, Q < 0,5;

2) вещественные и  равные   при   R = 2ρ, Q = 0,5;

3) комплексно-сопряженные при   R < 2ρ, Q > 0,5.

Здесь  – характеристическое сопротивление, Q = ρ/R – добротность контура.

В схеме рис. 2 до коммутации при t<0 емкость заряжена до напряжения Uc(0-) = E. После коммутации емкость начинает разряжаться и в контуре возникает переходный процесс. В случае 1 при Q < 0,5 решение уравнения (2) имеет вид

                    (6)

Для нахождения постоянных интегрирования А1 и А2 запишем выражение для тока в цепи

.

Используя начальные условия Uc(0-) = E и i(0-) = 0, получаем систему уравнений

                            (7)

Из решения системы имеем

.

В результате для тока и напряжений в контуре получим

Переходные процессы в цепях второго порядка

E=70В

 L=2мГн

С=9мкФ

R=ρ/4

Определение независимой переменной.

IL – независимая переменная

Составляем дифференциальное уравнение для переходного процесса в цепи и записываем общее решение.

IL(t)=iсв(t)+iпр

Определим начальные условия.

t=0

IL(0)=E/R=19.799А

Запишем решение дифф. уравнения для свободной составляющей.

iсв(t)=A*eαt*sin(wt+θ)

Zвх=2R+jwL+1/jwC

2R+pL+1/pC=0

LCp2+2RCP+1=0

p=-883.833-7.016i*103

τ=1/|α|=1.131*10-3

T=2π/w=8.956*10-4

Определим принужденные составляющие при t=∞

iпр=0

Определим постоянный интегрирования Aи θ

UL(t)=LAαweαt *sin(wt+θ)

iL(t)=Aeαt*sin(wt+θ)

LAα*sin θ+ LAw*cosθ =0

Asinθ=19.799

ð Acos θ=2.494

tg θ=19.799/Acos θ=7.938

θ=1.455

A=19.955

Спектральное представление периодических процессов в электрических цепях

Во многих случаях в установившемся режиме кривые периодических э.д.с., напряжений и токов в электрических цепях могут отличаться от синусоидальных. При этом непосредственное применение символического метода для расчета цепей переменного тока становится невозможным. Для линейных электрических цепей задача расчета может быть решена на основе метода суперпозиции с использованием спектрального разложения несинусоидальных напряжений и токов в ряд Фурье. В общем случае ряд Фурье содержит постоянную составляющую, первую гармонику, частота которой совпадает с частотой ω1=2π/T периодического с периодом T тока или напряжения, и набор высших гармоник  с частотами ωn=nω1, кратными основной частоте ω1. Для большинства периодических функций ряд Фурье содержит бесконечное число членов. На практике ограничиваются конечным числом членов ряда. При этом исходная периодическая функция будет представлена с помощью ряда Фурье с некоторой погрешностью.

Пусть имеется периодическая с периодом Т  э.д.с.  е(t)=e(t±nT), удовлетворяющая условиям Дирихле (функция на интервале Т имеет конечное число разрывов и экстремумов). Такая функция может быть представлена суммой гармонических   составляющих с различными амплитудами Еn, частотами ωn=nω1 и начальными фазами φn в виде ряда Фурье

Ряд Фурье можно представить в другой форме:

Постоянная составляющая Е0 и коэффициенты ряда Фурье Вn и Сn рассчитываются по формулам

Для нечетных функций е(t) коэффициенты Сn=0, а для четных Bn=0, Связь между коэффициентами Bn, Cn и амплитудами Еn и фазами φn гармоник определяется соотношениями

.

Диаграмма, на которой изображают зависимость амплитуды гармоник En от частоты ωn=nω1, называют спектром.

Используя метод суперпозиции и спектральное представление периодической э.д.с. в виде ряда Фурье  электрическую цепь можно рассчитать по следующей методике:

1.  Несинусоидальная периодическая э.д.с. е(t) раскладывается в ряд Фурье и определяются амплитуды En и фазы φn всех гармоник э.д.с.

2.  В интересующей ветви рассчитываются токи i0, i1,...in, создаваемые каждой гармоникой э.д.с.

3.  Искомый ток в ветви находится как сумма токов

.

Так как составляющие тока i(t) либо постоянная величина i0, либо синусоидальные токи in, то для их определения применяют известные методы расчета цепей постоянного и переменного синусоидального токов.

Рассчитать формы и спектры сигналов при нелинейных преобразованиях

Исходные данные:

U0=0,5 В,

U1=1 В,

Um=1,5 В,

S=16 мА/В,

T=11 мкс

1.  Рассчитаем угол отсечки θ в радианах и градусах       

cos θ= (U1-U0)/Um

θ=arcos(cos θ)=1.231 радиан    θ=70.529 градусов

2.  Рассчитаем амплитуду тока диода

Im=S*Um(1-cosθ)=16мА

    3. Запишем выражение для мгновенного значения тока

Выражение для мгновенного значения напряжения

Найдем один из нулей функции напряжения

Найдем одну из точек, в которых функция принимает значения принужденного составляющего напряжения

Найдем две точки, в которых функция принимает значения отпирающего напряжения

Разность между двумя такими точками

стало быть,    

    4.Вычислим постоянную составляющую тока

мА

5.Изобразить временные диаграммы напряжения U(t) и тока i(t)

Страницы: 1, 2, 3