Курсовая работа: Электрическое поле
В курсе математики
доказывается теорема Остроградского-Гаусса (была установлена К. Гауссом в 1844
независимо от М.В. Остроградского, доказавшего ее в 1839):
. (1.4.3)
Здесь V – произвольный
объем, ограниченный поверхностью S. Применим теорему (1.4.3) к потоку
электростатического поля. С учетом (1.4.1) получим:
. (1.4.4)
Из равенства интегралов
ввиду произвольности объема V следует равенство подынтегральных выражений, т.е.
теорема Гаусса в дифференциальной форме (А. Пуассон, 1850 г.):
. (1.4.5)
Из тех областей
пространства, в которых дивергенция Е положительна, силовые линии Е исходят
(r>0), в тех областях, где divE < 0 силовые линии заканчиваются (r<0),
а через те области, где divE = 0 силовые линии проходят, но не рождаются и не
исчезают, так как в этих областях r=0 (зарядов нет).
Циркуляция и ротор
векторного поля. Градиент скалярной функции
Циркуляция СL произвольного векторного поля F(x,y,z) по замкнутому контуру L определяется следующим соотношением:
, (1.5.1)
где Fl – проекция вектора F на направление элемента контура dl (см. рис. 1.5.1).
Ротор – это еще одно
понятие из математической теории векторных полей. В декартовой системе
координат (x,y,z) ротор F (обозначение «rotF») определяется как вектор,
компоненты которого равны определенным комбинациям пространственных производных
вектора F, именно:
(1.5.2)
Физический смысл ротора
следует из равенства, доказываемого в курсе математики:
. (1.5.3)
Здесь n – нормаль к
площадке S, L – контур, ограничивающий эту площадки, который при этом
предельном переходе стягивается в точку наблюдения . Если ротор
векторного поля в некоторой точке наблюдения не равен нулю, то в любой
достаточно малой окрестности этой точки силовые линии поля образуют
микроскопические замкнутые контура вокруг нее («завихряются»). Поэтому область,
где ротор векторного поля отличен от нуля, называют вихрем поля, а само поле,
ротор которого отличен от нуля называется вихревым. Скорость движения потоков
жидкости или газа, рассматриваемая как функция координат, является наглядным примером
векторного поля. Турбулентности в жидкости или газе образуются именно вокруг
точек, в которых отличен от нуля ротор скорости потока жидкости (газа).
Изображение поля с помощью силовых линий в области пространства, где ротор отличен
от нуля (точно так же, как и в точках с ненулевой дивергенцией), невозможно.
Как будет видно из
дальнейшего, циркуляция и ротор электростатического поля, тождественно равны
нулю во всем пространстве. Поэтому электростатическое поле – это относительно
простое силовое поле. Такими же свойствами обладает и гравитационное поле.
Понятие градиента уже
вводилось в курсе механики. Напомним его. Градиент функции f(x,y,z), зависящей от координат – это
вектор, декартовы компоненты которого являются пространственными производными
функции f :
. (1.5.5)
Пусть . Можно
показать, что тогда необходимо и достаточно, чтобы ротор был равен нулю:
. (1.5.6)
Потенциальность
электростатического поля. Электрический потенциал
Работа поля по переносу
пробного q заряда из некоторой точки 1 в
некоторую точку 2 не зависит от траектории его движения и определяется для
данного поля и данного заряда только координатами этих точек. Для случая, когда
источником поля является точечный заряд Q (рис. 1.6.1) это нетрудно обосновать
следующим образом. Работа на элементарном отрезке траектории, по известному из
механики определению, есть: . Раскрывая скалярное
произведение векторов через угол a между ними, получаем
. (1.6.1)
Суммируя (интегрируя) все
элементарные работы, находим
, (1.6.2)
что и требовалось
доказать. Работа определяется только расстояниями от источника до начальной и
конечной точки траектории. Такое силовое поле в механике мы называли
потенциальным.
Из принципа суперпозиции
следует потенциальность электростатического поля, созданного любой системой
зарядов. Из (1.6.2) и принципа суперпозиции следует также, что работа
электростатических сил над зарядом, перемещаемым по замкнутому контуру, равна
0:
. (1.6.3)
Таким образом, для любого
контура в электростатическом поле циркуляция напряженности – тождественный
нуль. В соответствии с утверждением (1.5.6) напряженность электростатического
поля (с точностью до знака) может быть истолкована как градиент некоторой
функции координат, называемой потенциалом электростатического поля :
. (1.6.4)
Используя определение
напряженности электростатического поля (1.2.1) и формулу связи между силой F и потенциальной энергией W,
известную из курса механики
, (1.6.5)
из (1.6.4) получим, что
потенциал поля в данной точке наблюдения численно равен потенциальной энергии
пробного заряда q, помещаемого в
данную точку, отнесенной к величине этого заряда:
. (1.6.6)
Потенциальная энергия
электростатического поля, как и энергия поля сил тяготения, определяется с
точностью до произвольной постоянной, которую можно зафиксировать выбором точки
нулевого уровня для W. Как правило, потенциальная энергия электростатического
поля полагается равной нулю в бесконечно удаленной точке.
Из формулы (1.6.4) путем
интегрирования нетрудно получить формулу, связывающую потенциал с
напряженностью:
. (1.6.7)
Интегрирование в (1.6.7)
можно проводит по любой кривой соединяющей точки 1 и 2.
Рассмотрим в
пространстве, где имеется электростатическое поле, мысленную поверхность,
перпендикулярную силовым линиям. При вычислении интеграла (1.6.7) по любой
траектории 1–2, лежащей на этой поверхности, касательная Et компонента Е равна нулю.
Следовательно, для любых двух точек 1 и 2 этой поверхности правая часть (1.6.7)
равна нулю, потенциалы j(r1) и j(r2) одинаковы. Поверхность, во всех точках которой
потенциал имеет одинаковую величину, называется эквипотенциальной. Таким
образом, поверхность перпендикулярная к силовым линиям является
эквипотенциальной.
В общем случае разность
потенциалов между точками 1 и 2 равна разности потенциалов эквипотенциальных
поверхностей, которым принадлежат эти точки. Последнюю можно найти, проводя
интегрирование в формуле (1.6.7), по силовой линии, соединяющей точки 1¢ и 2¢ этих эквипотенциальных поверхностей.
При этом фактически под интегралом будет модуль Е электрической напряженности,
т.к. на силовой линии . В заключение для
потенциала поля точечного заряда Q приведем формулу, которая следует из
сравнения формул (1.6.2) и (1.6.6) и известного из курса механики соотношения
между работой A12 потенциальных сил на участке 1–2
траектории частицы и потенциальной энергией частицы в начале W1 и в конце W2 этого
участка:
. (1.6.8)
В данном случае частицей
является пробный заряд q. Формула
для потенциала точки, отстоящей от точечного источника Q на расстояние r , имеет вид
. (1.6.9)
Заключение
Электрическое поле —
особая форма поля, существующая вокруг тел или частиц, обладающих электрическим
зарядом, а также в свободном виде в электромагнитных волнах. Электрическое поле
непосредственно невидимо, но может наблюдаться по его действию и с помощью
приборов. Основным действием электрического поля является ускорение тел или
частиц, обладающих электрическим зарядом.
Электрическое поле можно
рассматривать как математическую модель, описывающую значение величины
напряженности электрического поля в данной точке пространства. Дуглас Джанколи
писал так: "Следует подчеркнуть, что поле не является некой разновидностью
вещества; правильнее сказать, это чрезвычайно полезная концепция… Вопрос о
«реальности» и существовании электрического поля на самом деле — это
философский, скорее даже метафизический вопрос. В физике представление о поле
оказалось чрезвычайно полезным — это одно из величайших достижений
человеческого разума".
Страницы: 1, 2, 3, 4 |