Учебное пособие: Корреляционно-регрессионный анализ

yх=a0+a1х

где ух - выпуск продукции;

х - основные фонды.

Для определения параметров уравнения регрессии построим систему нормальных уравнений (1.8.6). Для решения системы вычислим значения Σу, Σх, Σх2, Σ ух (см. табл. 1.8.1).

Система нормальных уравнений имеет вид:

277 - 44ао +1615а1;

11792 - 1615ао + 72675а1.

Решая систему нормальных уравнений, определим значения а0 и а1:

а0 = 1,84; а1 = 0,12.

Уравнение регрессии, характеризующее зависимость произведенной продукции от основных фондов, имеет вид:

ух = 1,84+ 0,12 х.

Параметр а1 = 0,12 показывает, что с ростом основных фондов на 1 тыс. руб. объем произведенной продукции увеличится на 0,12 т.

Вычислим коэффициент эластичности (по формуле 1.8.8):

Э=0,12´(36,7 / 6,3) = 0,7

Коэффициент эластичности показывает, что с ростом основных фондов на 1% объем произведенной продукции увеличится на 0,7%.

Подставляя в уравнение регрессии значения факторного признака, найдем теоретические значения объема произведенной продукции ух (см. табл. 1.8.1).

Уравнение регрессии имеет практическое значение. Сравнивая фактический объем продукции у отдельных предприятий с теоретическим, мы получаем возможность его оценки с точки зрения средних условий существующих в данной совокупности предприятий. Регрессионную модель можно использовать для прогноза выпуска продукции в зависимости от изменения основных фондов тогда, когда не изменяются условия формирования уровней исследуемого признака.

Измерение тесноты корреляционной связи. Важное место в анализе регрессионной модели занимает оценка тесноты корреляционной связи между изучаемыми признаками.

Для измерения тесноты корреляционной связи между признаками при линейной форме связи применяется линейный коэффициент корреляции:

 (1.8.9)

Он изменяется в пределах от -1 до +1 и показывает тесноту и направление корреляционной связи. Чем ближе коэффициент корреляции к 1 (по модулю), тем связь теснее. Отрицательное значение свидетельствует об обратной связи между признаками. Коэффициент корреляции можно вычислять и по формулам:

 (1.8.10

 (1.8.11)

При любой форме связи для измерения тесноты корреляционной связи применяются теоретическое корреляционное отношение и индекс корреляции. Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

 (1.8.12)

,где ή - теоретическое корреляционное отношение.

Факторная дисперсия, характеризующая вариацию результативного признака под влиянием вариации признака-фактора определяется по следующей формуле:

Общая дисперсия, характеризующая вариацию результативно- го признака под влиянием всех факторов, вызывающих эту вариацию, определяется по формуле

Представим индекс корреляции:

 (9.13)

Остаточная дисперсия, характеризующая вариацию результативного признака под влиянием прочих неучтенных факторов, определяется по формуле

Индекс корреляции и теоретическое корреляционное отношение изменяются от 0 до 1 и показывают не только тесноту связи, но и степень пригодности подобранных функций связи.

ή, R - называются коэффициентами детерминации, которые показывают долю вариации результативного признака под влиянием вариации признака-фактора. Коэффициент детерминации используют в качестве критерия оценки подбора наилучшей модели связи.

Показатели тесноты корреляционной связи используются не только для оценки уже построенной модели связи (уравнения регрессии), но и для выбора оптимального варианта формы связи. Если теоретический анализ не дает возможности дать однозначный ответ о форме связи, то необходимо строить уравнения регрессии с различными формами связи - линейные и нелинейные. Оценка пригодности модели связи осуществляется путем анализа коэффициента детерминации или индекса корреляции. Наилучшей считается модель с наибольшими значениями этих показателей.

При линейной форме связи теоретическое корреляционное отношение и линейный коэффициент корреляции равны.

Измерим тесноту корреляционной связи между основными фондами и выпуском продукции линейным коэффициентом и индексом корреляции (формулы (1.8.11), (1.8.13)).

Необходимые для расчета этих показателей данные представлены в табл. 1.8.1.

а1, =0,12;

 =10,2;

σу = = 3,19;

=5,66;

r=0.12×(17,41 / 3,19) = 0,66

Все исчисленные показатели показывают тесную корреляционную связь между основными фондами и выпуском продукции. Коэффициент детерминации R2 = 0,44 свидетельствует о том, что вариация выпуска продукции на 44% объясняется вариацией основных фондов, а на 56% прочими факторами.

Так как линейный коэффициент корреляции равен индексу корреляции, можно сделать заключение, что связь между основными фондами и выпуском продукции линейная, т.е. форма связи подобрана правильно.