Контрольная работа: Сопротивление материалов при нагрузке

Контрольная работа: Сопротивление материалов при нагрузке

Вариант 37

Задача 1

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с равным поперечным сечением. Площадь сечения стержней А = 2∙10-4 м2. Модуль упругости материала стержней Е = 2×105 МПа, коэффициент линейного расширения a = 12×10–6 1/град. Размеры бруса: a = 0,5 м, b = 3 м, h = 1м, с = 2 м.

Требуется:

1.  Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений за допускаемое [s] = 160 МПа.

2.  Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]пр.

3.  Сравнить полученные результаты.

4.  Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стрежня короче номинальной на величину d2 = 2∙10-3 м

5.  Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня увеличится на величину Dt1 = -40°С.

6.  Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.

1.  Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений в стержнях за допускаемое [s].

Составляем расчетную схему. Под действием силы Q стержни 1 и 2 будет растягиваться. Вследствие этого появятся внутренние силы N1 и N2. Составим уравнение моментов относительно точки О:

При неизвестных реактивных усилиях N1, N2, Rox, Roy и трех уравнений статики (плоская система сил) заданная стержневая система является статически неопределимой, и степень статической неопределимости (ССН) определяется:

ССН = m – n,

где m – количество неизвестных реакций, n – количество уравнений. Таким образом, ССН = 4 – 3 =1, то есть для решения данной задачи необходимо составить еще одно дополнительное уравнение, называемое уравнением совместности деформаций.

Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1О и СС1О имеем:

.

Считаем, что угловые деформации малы, поэтому изменением угла b пренебрегаем.

АА1=Dl2, , KА1=Dl1. То есть:

По закону Гука имеем:

 ; .

Длину первого стержня определяем по теореме Пифагора:

 м

Подставляем значения удлинений в уравнение совместности деформаций:

 .

 Тогда, . Окончательно имеем: N2 = 1,3×N2

Из этого выражения видно, что N1<N2. Соответственно, напряжения в первом стержне sI меньше, чем напряжения во втором sII. Поэтому, максимальные напряжения по абсолютному значению будут во втором стержне: sII = [s] и  кН. Значение N1 = 24,62 кН.

Оба стержня сжаты.

Найдем напряжения в обоих стержнях: sII = [s] = -160 МПа;    sI = -123,1 МПа. растянуты.

Подставим значения сил N1 и N2 в первое уравнение и определим значение [Q]:

кН.

2.  Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]пр.

Предельное состояние будет возникать, если напряжения в стержнях будут равны предельным, то есть пределу текучести sт: sI = sII = sт     

Составляем уравнение предельного равновесия:

;.

Предельные усилия в каждом из стержней:

.

Решаем относительно предельной нагрузки для системы:

.

Допускаемая нагрузка по предельному состоянию [Q]пр определяется как:

,

где n – коэффициент запаса прочности.

С учетом, что  получим [Q]пр = 23,51 кН.

3.  Сравнить полученные результаты.

Определяем погрешность между расчетами:

 %.

По условию предельного состояния допускаемую нагрузку можно не менять (погрешность d < 5%).

4.  Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стержня короче номинальной на величину d2=1,5 мм.

Составляем расчетную схему. С учетом удлинения стержня 2 точка А должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 1. Сопротивление первого стержня приводит к тому, что точка А занимает положение А1. В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N1 и N2. Составим уравнение статики:

;

Из этого уравнения следует, что:

Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1О и ВВ1О имеем:

;

; ;

KВ1=Dl1.

По закону Гука:

; .

Решая совместно уравнения получим:

N1= 29,76 кН; N2= 41,34 кН.

2 стержень сжат; 1 – растянут.

Определим напряжения:

sI =148,8 МПа;  sII = -206,7 МПа.

5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня уменьшится на величину Dt1=40°.

Составим расчетную схему. С учетом удлинения стержня 1 точка В должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 2. Сопротивление второго стержня приводит к тому, что точка В занимает положение В1. В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N1 и N2. Составим уравнение статики:

;

Из этого уравнения следует, что:

Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1О и ВВ1О имеем:

; ; ; ; ; АА1=Dl2.

По закону Гука:

 ; .

Решая совместно получим:

N1=5,15 кН;  N2=7,15 кН.

2 стержень сжат; 1 – растянут.

Определим напряжения:

sI =25,75 МПа; sII = -35,76 МПа.

5.  Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.

Сведем данные расчетов в Таблицу

Таблица 1.

Из таблицы видно, что для заданной схемы для стержня 1 сочетания всех трех факторов является благоприятным фактором (напряжения значительно меньше допускаемых), а для стрежня 2 - неблагоприятным: стержень разрушится.

Страницы: 1, 2, 3