Реферат: Анализ обобщенных функций

Пусть существует  такая что

тогда f-1(t) называется обратной обобщенной функцией f(t).

Пространство  с введенной операцией умножения образует алгебру (коммутативную) со сверткой.

Рассмотрим алгебру со сверткой  . Обобщенная функция  так как она равна нулю всюду, кроме точки ноль. Обобщенная функция сосредоточена вначале координат, поэтому  Далее,

поэтому

Теорема. Пусть для  существуют обратные функции f - 1(t) и g-1(t). Тогда свертка  имеет обратную функцию вида

Действительно,

Рассмотрим следующее определенное в  уравнение в свертках

Свертка существует для любой обобщенной функции  так как

Следовательно, y(t) является фундаментальным решением уравнения (4). В частности, фундаментальное решение уравнения (6) с оператором  принадлежит алгебре со сверткой  Следовательно,

Рассмотрим операционный метод решения уравнения в свертках. Пусть имеется уравнение

где a(t) и b(t) ΠСреди эффективных методов решения этого уравнения приведем метод преобразования Лапласа. Применив преобразование Лапласа к левой и правой части этого уравнения, имеем

Отсюда следует

Если для функции L(p) существует оригинал, принадлежащий  то он и является искомым решением.

В качестве примера рассмотрим уравнение

Применив к нему преобразование Лапласа, получим (р2-w2) L[y(t)] = 1.

Следовательно,

Откуда находим решение

7.Задача Коши

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

 (7)

Задачей Коши для этого уравнения называется задача, заключающаяся в определении функции  удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям в точке t = to:

yo = y(to), y'o = y'(to), . . . , yo(n-1) = y(n-1)(to).

Задача Коши имеет единственное решение. Найдем решение, удовлетворяющее уравнению (7), а также начальным условиям.

 (8)

t®+0

Запишем уравнение (8) в обобщенных функциях, продолжив функцию f(t) и искомое решение нулевым значением для t<0. Введем функции

и соответствующие обобщенные функции. Начальные условия в этом случае являются скачками функции y(t) и ее производных до n-1-го порядка включительно в точке t = 0. Действительно, рассмотрим вначале случай, когда у функции y(t) только скачок yo, тогда

где y'(t) – производная в обычном смысле.

Если у функции еще и скачок производной равный y'o, то

Производную порядка p (p £ n-1) обобщенной функции  можно записать в виде

Введем обозначение

Где

Таким образом, дифференциальное уравнение (7) переходит в уравнение

 (9)

Преимущество этого уравнения состоит в том, что оно содержит начальные условия Коши и в формулировке задачи участвуют обобщенные функции.

Уравнение в свертках, соответствующее уравнению (9), имеет вид

Если e(t) – его фундаментальное решение, то с учетом последней формулы можно записать

 (10)

С помощью вариации постоянных можно записать фундаментальное решение в виде

e(t) = q(t) yn(t) ,

где yn(t) - решение однородного уравнения

с начальными условиями

Тогда решение уравнения (10) принимает вид

Таким образом, решение уравнения (7) с начальным условием (8) принимает вид

где предполагается, что f(t) – локально интегрируемая функция.

Пример. Рассмотрим уравнение

y''(t) = 0, t ³ 0

с начальными условиями

lim y(t) = yo , lim y'(t) = y'o

t®+0 t®+0

В этом уравнении а1 = а2 = 0 и b1 = yo, b2 = y'o, а функция y2(t) = t является решением однородного уравнения, удовлетворяющая условиям

y2(0) = 0 , y'(0) = 1.

Поэтому

y(t) = yo + y'o t , t ³ 0.

Можно также написать