Учебное пособие: Сопротивление материалов

Проверочный расчет заключается в том, что определяется фактический коэффициент запаса прочности n и сравнивается с нормативным коэффициентом запаса [n]:

где * - предельное (или опасное) напряжение, т. е. напряжение, вызывающее отказ элемента конструкции (напомним, что, например, для стержня из пластичного материала это-предел текучести sт или условный предел текучести 0,2).

Подбор сечения (проектный расчет). В этом расчете по Заданной нагрузке (Nz) определяются размеры поперечного сечения стержня (F) из заданного материала ([] дано). Минимальное значение F получим, если в условии прочности (1) принять знак равенства:

[F] = Nz / []

Определение допускаемой нагрузки, то есть максимального значения нагрузки, которое допускает данный элемент конструкции (F и [] даны) при выполнении условия прочности (1)

[N] = []F

Понятие о концентрации напряжений, принцип Сен-Венана

Даже для призматического стержня равномерное распределение напряжений по поперечному сечению не всегда имеет место. Так, отклонения от равномерного распределения напряжений наблюдаются в окрестности сечений, содержащих вырезы, выточки, отверстия, трещины, в местах резкого изменения поперечного сечения, а также в местах приложения сосредоточенных сил и т. п. Неравномерное распределение напряжений в указанных местах является следствием искажения плоскостей поперечных сечений или их депланации.

Поясним это явление на примере подверженной растяжению полосы из податливого материала с круговым отверстием, на поверхности которой нанесены продольные и поперечные риски (рис. 5, а). В зоне отверстия имеет место депланация поперечных сечений, вызванная неравномерным растяжением продольных волокон (рис.5, б). При этом наибольшие удлинения и соответственно напряжения max  получают волокна возле отверстия. Такое местное увеличение напряжений возле вырезов, выточек, отверстий и т. п., а также в местах приложения сосредоточенных сил, называется концентрацией напряжений, а источники концентрации напряжений (вырезы, выточки, отверстия и т. п.) получили название концентраторов напряжений.

Рассмотренными методами механики деформированного тела, опирающимися на гипотезу плоских сечений, задачи о распределении напряжений в зонах концентрации напряжений не решаются. Такие задачи решаются методами теории упругости или исследуются экспериментально. При этом для практических расчетов вводится так называемый теоретический коэффициент концентрации напряжений к, представляющий собой отношение максимальных max  и номинальных ном напряжений: к = max /ном, где номинальные напряжения определяются без учета концентрации напряжений. В приведенном примере растяжения полосы с отверстием ном = Nz / Fnt, a Fnt - площадь поперечного сечения полосы, уменьшенная за счет отверстия ("нетто"). Таким образом, к играют роль поправочных коэффициентов.

Однако, как показали эксперименты и точные решения задач теории упругости, местные отклонения от равномерного распределения напряжений, вызванные концентрацией напряжений, быстро затухают по мере удаления от сечения с концентратором, и на расстояниях порядка ширины сечения распределение напряжений можно считать практически равномерным (рис. 5, в). Отмеченное свойство является частным случаем широко используемого практически во всех разделах механики деформируемого твердого тела (в том числе и теории упругости) принципа Сен-Венана

Определение деформаций и перемещений

Как показывают эксперименты, при растяжении стержня размеры его поперечного сечения уменьшаются (см. рис. 6), а при сжатии - увеличиваются. Это явление получило название эффекта Пуассона.

По аналогии с продольной деформацией изменение размеров поперечного сечения b (на рис. 6 b<0) будем называть абсолютной поперечной деформацией, а '=b/b - относительной поперечной деформацией. Относительные продольная и поперечная деформа-ции, имеющие противоположные знаки, связаны между собой коэффициентом , являющимся константой материала и называемым коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

Формула (2) для удлинения стержня l применима только в случае, когда по длине стержня ни жесткость поперечного сечения, ни продольная сила не изменяются (EF=const, Nz=const). Удлинение стержня со ступенчатым изменением EF и Nz (рис. 7) может быть определено как сумма удлинений ступеней, у которых EF и Nz постоянны:

(индекс k у модуля продольной упругости означает, что участки стержня могут быть изготовлены из различных материалов). В случае, когда Nz и EF меняются по длине стержня l непрерывно и их можно считать постоянными лишь в пределах ступеней длиной dz, обобщая формулу эту, получаем

В качестве тестов для практики расчетов определенных интегралов рекомендую воспользоваться системой входных тестов Т-5, указанных в ПРИЛОЖЕНИИ.

С упругими продольными деформациями стержня при растяжении (сжатии) связаны продольные перемещения его сечений. На рис. 8 приведены три случая определения таких перемещений, откуда видно, что перемещения поперечных сечений численно равны удлинениям заштрихованных частей стержня:

перемещение свободного торцевого сечения 1-1 при неподвижном другом торцевом сечении (рис. 8, а) численно равно удлинению стержня;

перемещение промежуточного сечения 2-2 (рис. 8, б) численно равно удлинению части стержня, заключенной между данным сечением и сечением неподвижным;

взаимное перемещение сечений 3-3 и 4-4 (рис, 8, в) численно равно удлинению части стержня, заключенной между этими сечениями.

Напряженное состояние при растяжении (сжатии)

Напряженное состояние при растяжении стержня является одноосным (рис. 9, а). Поскольку на поперечных и продольных площадках касательные напряжения не возникают, то эти площадки являются главными.

Напряжения на площадках, наклоненных к оси стержня под углом , определяются по формулам для упрощенного плоского напряженного состояния:

Площадки с экстремальными касательными напряжениями 13 (рис. 9, б), как известно, наклонены по отношению к исходным под углами =±45° (следует и из формулы для ) и равны 13=/2.

Именно с действием экстремальных  связывается появление на боковой поверхности образца из малоуглеродистой стали, испытываемого на растяжение, линий скольжения, ориентированных под углом =±45° к оси образца. На площадках с экстремальными t действуют и нормальные напряжения, равные /2.

10. Составные балки и перемещения при изгибе

Ключевые слова: сварные двутавровые балки, уравнение упругой кривой, прогиб, угол поворота, граничные условия.

Понятие о составных балках

Работу составных балок проиллюстрируем на простом примере трехслойной балки прямоугольного поперечного сечения. Если слои между собой не связаны и силы трения между ними отсутствуют, то каждый из них деформируется как отдельная балка, имеющая свой нейтральный слой (рис. 1, а). Нагрузка между этими балками распределяется пропорционально их жесткостям при изгибе (в данном примере поровну). Это означает, что моменты инерции и моменты сопротивления трех независимо друг от друга деформирующихся балок должны быть просуммированы

Если скрепить балки сваркой, болтами или другим способом (рис. 1, б), то с точностью до пренебрежения податливостью наложенных связей сечение балки будет работать как монолитное с моментом инерции и моментом сопротивления, равным

Как видно, при переходе к монолитному сечению жесткость балки возрастает в девять раз, а прочность - в три раза. В инженерной практике наиболее распространены сварные двутавровые балки.

Дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня

Определено, что мерой деформации призматического стержня при прямом чистом изгибе является кривизна нейтрального слоя. Можно показать, что с достаточной для инженерных расчетов точностью этим тезисом можно пользоваться и в случае прямого поперечного изгиба стержня. Однако для практических целей кроме кривизны 1/ необходимо определить вертикальные перемещения центров тяжести отдельных поперечных сечений - прогибов балки v, а иногда и углы поворота этих сечений  (рис. 2). Вследствие гипотезы плоских сечений угол поворота сечения ( оказывается равным углу наклона касательной к изогнутой оси балки, который в силу малости

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12