Контрольная работа: Экономико-математическое моделирование
Контрольная работа: Экономико-математическое моделирование
1. Определить нижнюю и
верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей
Имеет ли игра седловую точку?
Решение:
Найдем по каждой строчке
платежной матрицы минимальное число αi = min
(αi1, αi2,
αi3) – это гарантированный выигрыш игрока А, при выборе
им соответствующей стратегии. Чтобы получить максимально возможный
гарантированный выигрыш, игрок А должен выбрать ту стратегию, для которой
αij имеет максимальное значение – α
= max(α1, α2,
α3) – это нижняя цена игры.
Для игрока В выберем по
каждому столбцу максимальное число βj = max(α1j, α2j, α3j) – это гарантированный проигрыш
игрока В при выборе им стратегии Вj. Найдем минимальное из этих чисел β = min (β 1, β 2,
β 3) – это верхняя цена игры. Занесем полученные данные в
таблицу 1.
Нижняя цена игры α = 8 равна
верхней цене игры β = 8. Значит, игра имеет седловую точку. Для игрока А
оптимальная стратегия – А1, для игрока В оптимальная стратегия – В1.
Ответ: α = β = 8, игра имеет
седловую точку, оптимальные стратегии (А1, В1).
Таблица 1 – Определение цены игры платежной матрицы
|
В1
|
В2
|
В3
|
|
А1
|
8 |
9 |
9 |
α1 = min (8, 9, 9) = 8
|
А2
|
6 |
5 |
8 |
α2 = min (6, 5, 8) = 5
|
А3
|
3 |
4 |
5 |
α3 = min (3, 4, 5) = 3
|
|
β1
= max(8, 6, 3)
β1=
8
|
β2 = max(9, 5, 4)
β2= 9
|
β3 = max(9, 8, 5)
β3= 9
|
α = max(8, 5, 3) = 8
β = min (8, 9, 9) = 8
|
2. Решить графически игру, заданную
платежной матрицей
Решение:
Дана игра 4 х 2 , то есть
у игрока А имеется 4 стратегии, а у игрока В – 2. Поэтому, будем решать игру
для игрока В. Построим оси: ОХ – на ней будем отмечать вероятности, с которыми
игрок использует ту или иную стратегии, и ОУ – на ней будем откладывать цену
игры. На расстоянии единица от оси ОУ проведем еще ось параллельную ей, как
показано на рисунке 1.
Если игрок А выбирает
стратегию А1, то игрок В, используя свои стратегии с вероятностями (q1, q2), будет проигрывать, в среднем, q1∙α11+q2∙α12 = q1∙(-3) +q2∙(-4). Отметим на оси ОУ α11
= -3, а на оси ей параллельной α12 = -4 и соединим эти точки
прямой линией – она показывает, сколько, в среднем, получает игрок В, если А
использует стратегию А1, а В чередует стратегии В1 и В2
с некоторыми вероятностями (q1, q2). Аналогично отмечаем на оси ОУ точку -1, а на параллельной
ей оси – точку 2 и соединяем отрезком. Получаем линию, показывающую, сколько, в
среднем, получает игрок В, если А выбрал стратегию А2. Точно также
для А3 и А4.
Для игрока В надо выбрать
верхнюю границу, так как он должен рассчитывать, что А выберет ту стратегию,
которая соответствует наибольшему проигрышу для игрока В. На рисунке 1 это
ломанная А3КА2, выделенная толстой линией. Игроку В
следует выбрать ту смешанную стратегию, которая соответствует наименьшему
проигрышу для В – точка К. Это точка пересечения прямых, соответствующих
стратегиям А3 и А2. Выпишем уравнения этих прямых.
Прямая (А3 А3)
проходит через точки с координатами (0;2) и (1;-4). Уравнение этой прямой
запишется в следующем виде:
Уравнение прямой (А2
А2), проходящей через точки (0;-1) и (1;2), запишется в
следующем виде:
Рисунок 1 –Графическое решение
Точка К – точка
пересечения этих прямых, имеет координаты, удовлетворяющие системе:
Решение системы:
Следовательно, цена игры ν = 0,
оптимальная стратегия для игрока В:
Для игрока А, стратегии А1
и А4 будут не активными, игроку А не выгодно их использовать.
Максимально возможный выигрыш, равный цене игры ν = 0, игрок А будет
получать, используя стратегии А2 и А3. Найдем оптимальную
смешанную стратегию для игрока А из следующей системы, учитывая, что А1
и А4 не активные стратегии, то есть р1 = р4 =
0:
Ответ: Цена игры ν = 0, оптимальные
стратегии игроков
3. Решить геометрически
следующую задачу линейного программирования:
при ограничениях:
Решение:
Построим область
ограничений. Строим прямую (1): x1 – 4x2 - 4 = 0 по двум точкам, координаты которых удовлетворяют
уравнению: (8; 1), (4; 0), как показано на рисунке 2. Проверяем, какая
полуплоскость удовлетворяет неравенству ,
для этого подставим значение произвольной точки (0; 0) в это неравенство,
получим - выполняется. Аналогичным
способом строим прямые (2): и (3): , выделяем «бородой»
области значений x1, x2, удовлетворяющие условиям и
. На рисунке 2 изображена
область, удовлетворяющая представленной в условиях задачи системе. Заметим, что
и одно из неравенств
системы - , тогда, очевидно, функция F принимает значения интервала , но , тогда Fmax = .
Страницы: 1, 2, 3 |